חידה/בעיה בהסתברות

Alkhimey

New member
חידה/בעיה בהסתברות

משהוא שהמצאתי ואין לי פתרון לזה (אל תשאלו איך ולמה). נניח ויש הגרלה עם 10 פרסים שונים. לכל בן אדם מותר לשלוח כרטיס אחד בלבד. רם הרמאי החליט לשלוח כמות גדולה של כרטיסים כדי להגדיל את הסיכויי שלו לזכות. ידוע שבכל מצב יגיעו 100,000 כרטיסי הגרלה (כולל ה"רמאיויות" של רם). מה מספר הכרטיסי שרם צריך לשלוח בכדי שהסיכוי שלו לזכות יהיה הכי גדול. שימו לב שמקרה ששנים או יותר מהכרטיסים של רם יעלו בהגרלה נחשב להפסד.
 

עריסטו

Active member
בוא נראה

אם הבנתי נכון: רם שולח n מתוך 100000 הכרטיסים. בוחרים עשרה מ-100000 הכרטיסים ורם זוכה אם בדיוק אחד מהעשרה הוא שלו. השאלה היא מה צריך להיות n כדי שסיכויי רם לזכות יהיו מקסימליים. נחשב מה ההסתברות שרם יזכה. ההסתברות הזאת היא 10 כפול ההסתברות שהכרטיס הראשון שייבחר יהיה של רם, וכל שאר הכרטיסים לא יהיו של רם. ההסתברות שהכרטיס הראשון שייבחר יהיה של רם: n/100000 ההסתברות שכל שאר הכרטיסים לא יהיו של רם:
(1-(n-1)/99999)(1-(n-1)/99998)...(1-(n-1)/99991)​
לכן ההסתברות שרם יזכה היא:
n(1-(n-1)/99999)(1-(n-1)/99998)...(1-(n-1)/99991)/10000​
בעזרת תוכנית מחשב קיבלתי שה-n הטוב ביותר הוא n=10000, ואז הסיכוי לזכות הוא כ - e^-1.
 

Alkhimey

New member
לא ממש הבנתי

איך קיבלת מספר אי רציונלי, כאשר המשווא מכילה רק מספרים רציונליים? וגם הכרטיס שם רם לא בהכרח יוצא ראשון בהגרלה וצריך להתייחס לכל המקרים בנפרד ולא להכפיל ב10(הרי אם הוא יוצא שני ההסתברות שונה מהאם הוא יצא ראשון (תסתכל בתמונה המצורפת). חשבתי אולי אפשר לפתור את זה בעזרת דיאגרמת עץ (ראה תמונה). יש דרך לפשט את המשוואה?
 

עריסטו

Active member
איפה קיבלתי מספר אי רציונלי?

אמרתי שההסתברות היא בערך e^-1. ונכון להכפיל ב-10 כפי שעשיתי, כי ההסתברות שהכרטיס שלו ייצא שני שווה להסתברות שהוא ייצא ראשון. הרי הוא יכול לצאת בכל מקום באותה מידה.
 
למעלה