השרשור עם השרשר- יום שבת 3/12

[bang69]

השרשור עם השרשר- יום שבת 3/12

שבת (מתמטית) שלום לכולם!

 

[0Magic0]

אנליטית

קודקוד הזווית הישרה של משולש ישר זוית נמצא בנק'(4,2) ושני הקודקודים האחרים נמצאים אחד על ציר X והשני על ציר Y . מצא את המקום הגיאומטרי של אמצע היתר. האם שני הקודקודים האחרים אינם (4,0) ו-(0,2)? ובכלל, איך פותרים את התרגיל?

 

[גיל14]

תאסוף מידע

קודם כל, יש אינסוף נק' כאלה. עכשיו, מה אתה יודע? אתה יודע שברגע שיש לך נקודה אחת, למשל על ציר האיקס, אפשר למצוא את נק' ציר הY. בכל מקרה יש כמה משוואות שאפשר להשתמש בהן. למשל, משפט התיכון ליתר שווה למחצית היתר; משפט פיתגורס, בטח יש עוד כמה שאני לא זוכר.

 

[0Magic0]

אבל הבעיה היא ש...

אני בכלל לא יודעת איך לגשת לתרגילים כאלה... אני אמורה להגיע למשוואה עם X ו-Y שהם שיעורי הנק' של M אבל איך? אשמח לדרך לפתרון...

 

[טלמון סילבר]

ננסה בדרך הישירה ביותר.

שני הקודקודים האחרים אכן יכולים להיות בשתי הנקודות שציינת, אבל לא רק. נלך על המקרה הכללי. יהי המשולש ישר-הזווית: ABC, A - הנקודה (4,2), קודקוד הזווית הישרה. B - הקודקוד על ציר x. C - הקודקוד על ציר y. משוואת הישר המכיל את צלע AB היא משוואת ישר כלשהו העובר דרך נקודה A:

y - 2 = k(x - 4)​

כאשר k, השיפוע של הישר, יכול לקבל ערכים שונים. נראה, היכן ישר זה חוצה את ציר x, וכך נמצא את נקודה B:

y = 0 - 2 = k(x - 4) x - 4 = - 2/k x = 4 - 2/k B(4 - 2/k, 0)​

הניצב השני AC מאונך לניצב AB, ולכן השיפוע שלו שווה מינוס 1 חלקי השיפוע של AB. נכתוב את משוואת הישר המכיל את AC - כמשוואת ישר העובר דרך נקודה נתונה, ששיפועו נתון:

y - 2 = - (1/k)(x - 4) k(y - 2) + (x - 4) = 0​

נמצא, היכן ישר זה חותך את ציר y - וזו תהיה נקודה C:

x = 0 k(y - 2) - 4 = 0 k(y - 2) = 4 y - 2 = 4/k y = 2 + 4/k C(0, 2 + 4/k)​

נמצא את אמצע היתר BC. שיעורי נקודה זו הם ממוצעי שיעורי הנקודות B ו-C:

B(4 - 2/k, 0) C(0, 2 + 4/k) x = (4 - 2/k + 0)/2 = 2 - 1/k y = (0 + 2 + 4/k)/2 = 1 + 2/k - x = - 2 + 1/k - 2x = - 4 + 2/k y = - 2x + 5​

וזה מה שהתקבל: הישר y = 5 - 2x.

 

[tomeryp]

"קצת" באיחור

שני הקודקודים אכן יכולים להיות 4,0 ו0,2 אבל כדי לפתור תרגיל כזה קודם צריך להבין שלא מבקשים שנמצא נק' ספציפית אלא את המקום הגאומטרי שנק' אלה יכולות להיות בו. קל לראות את זה ע"י שרטוט כמו שצרפתי. עכשיו כשמסתכלים בתמונה אפשר להבין שיש אינסוף משלושים העונים לדרישות ומה שאנחנו בעצם מחפשים זהו תחום משותף לכל הנק' אשר מהווים אמצע יתר במשולש שכזה. זהו בעצם ה"מקום הגאומטרי" עליו נמצאים הנקודות. כדי למצוא מקום זה בדר"כ עדיף לסמן אותו כנקודה כללית (x,y) ולנסות למצוא את היחס בין שני ערכים אלה לפי נתוני השאלה. לדוגמא: נסמן את הנתונים: נקרא לקודקוד הזוית הישרה A והוא יהיה(A(4,2. את אמצע היתר נסמן בנק'(D(X,Y מכיוון שידוע שקודקוד נוסף של המשולש נמצא על ציר X ערך הY שלו יהיה אפס.כמו כן ידוע לפי נוסחת אמצע קטע כי מרחקו מצירY גדול פי 2 ממרחק הנק' הכללית שלנו (ראה שרטוט) לכן נסמן אותו כ(B(2X,0 באותה הצורה הקודקוד השני נמצא על ציר Y וערך הX שלו הוא אפס גם כן. והוא נמצא במרחק כפול מציר X לעומת הנק' הכללית שלנו אותו נסמן כ(C(0,2Y. נסתכל עכשיו שוב על הנק' הכללית שלנו D המשמשת בכמצע קטע. מכיוון שזוית A ישרה ידוע כי מכפלת שיפועי הישרים עליהם מונחים ניצבי המשולש שווה מינוס אחד. את שיפועי הישרים נמצא לפי נוסחת השיפוע בין שני נקודות. אפשר לראות שלאחר פישוט משוואה זו מתקבל קו ישר y=5-2X. קו זה מיצג כל נק' אפשרית אשר מהווה אמצע יתר במשולש ישר זוית בעל התכונות הנתונות. זה מה שנקרא מקום גאומטרי. מקווה שעזרתי כי לקח לי מלא זמן לרשום את זה. פעם ראשונה שלי בפורום הזה. לילה!

 

[טלמון סילבר]

דרך גאומטרית

נסמן שוב: A - הנקודה (4,2), קודקוד הזווית הישרה. B - הקודקוד על ציר x. C - הקודקוד על ציר y. O - נקודת תחילת הצירים (0,0). Q - מרכז היתר BC. כידוע, מעגל שמרכזו ב-Q ורדיוסו QB=QC (כלומר, קוטרו BC), עובר דרך קודקוד הזווית הישרה BAC, וגם דרך קודקוד הזווית הישרה BOC. מכאן: QA=QO, כלומר, הנקודה Q חייבת להיות על אנך האמצע לקטע QA, כלומר, על הישר המאונך לקטע OA והעובר דרך מרכזו. קל להיווכח (גאומטרית), שהשוויון QO=QA מתקיים גם כאשר הנקודה B או הנקודה C מתלכדות עם תחילת הצירים O, כלומר, כאשר היתר מונח על אחד הצירים. מאידך, אם ניקח נקודה כלשהי Q על אנך האמצע לקטע OA, כך שהמרחקים QO=QA יהיו שווים, ונעביר מעגל שמרכזו ב-Q ורדיוסו שווה QO=QA, העובר דרך הנקודות A ו-O והחותך נקודה נוספת B על ציר x ונקודה נוספת C על ציר y, ניווכח שהנקודה Q נמצאת במרכז הקוטר BC, ולכן גם הזווית BAC ישרה. גם אם הנקודה C אינה "נוספת" אלא מתלכדת עם O, כלומר המעגל הנ"ל משיק לציר y, בכל זאת הזווית BAC ישרה. כנ"ל אם המעגל משיק לציר y. לאור כל האמור לעיל, המקום הגאומטרי של כל מרכזי היתרים האפשריים הוא אנך האמצע לקטע OA. הוא עובר דרך מרכז הקטע OA, ששיעוריו:

((4 + 0)/2, (0 + 2)/2) = (2, 1)​

משוואת הקטע OA היא:

y = (2/4)x = (1/2)x​

ששיפועה שווה 1/2. לכן שיפוע אנך האמצע שלה שווה:

- 1 / (1/2) = - 2 :ומשוואת הישר הנדרש היא y - 1 = - 2(x - 2) y - 1 = - 2x + 4 y + 2x = 5​

 

[SatanD]

משפט פרמה הקטן (להוכחת ראשוניות)

האם זה המשפט: a^n mod n = a mod n ?

 

[גיל14]

כן

 

[SatanD]

תודה, והאם 1 ראשוני? ../images/Emo24.gif

הרי הגדרת ראשוניות היא מספר שמתחלק רק בעצמו וב-1. אז מה לגביו?

 

[SatanD]

מצאתי בשיטוט בפורום, תודה!

 

[the new L]

1 הוא לא ראשוני, הוא הפיך

 

[טלמון סילבר]

משפט פרמה הקטן אינו מוכיח ראשוניות.

השוויון שכתבת אכן מתקיים עבור כל n ראשוני ועבור כל a שלם, אבל הוא מתקיים גם עבור n אחרים, למשל 561 1105 1729 2465 2821 6601 8911 10585 15841 ועבור כל a שלם.

 

[risbo]

תרגיל--באלגברה שלא הצלחתי

מצורף תודה לעוזרים אם תשימו דרך אני אודה לכם מאוד...

 

[risbo]

הנה התרגיל

 

[eladי]

ניסוח אחר

מצא עבור אילו ערכי M ההפרש בין הפונקציות הוא חיובי לחלוטין. היות וההפרש בין הפונקציות הוא פולינום ממעלה 2, עליך למצוא מתי הוא פרבולה מחייכת שתמיד תמיד מרחפת מעל לציר X... ואת זה כבר די קל לעשות

 

[risbo]

לא הבנתי כל כך אבל תראאה מה אני

עשיתי ולא יצא לי טוב... f(x)>g(x) ואז f(x)-g(x)>0 וגם דלטא<0 וגם a>0

 

[eladי]

טוב נו... הנה לך:

f(x) = mx^2+x+2m+2 g(x) = (1-2m)x-1 (f-g)(x) = mx^2 +x +2m +2 - (1-2m)x+1 = mx^2 +2mx +2m + 3 Demand m >0 and (2m)^2 - 4m(2m+3) <0 so that 4m^2 - 8m^2 -12m = -4m^2 -12m <0 or m(12+4m) > 0 which yields m >0 or m<-3 eventually m>0 is the condition saught.​

 

[risbo]

זה אמור להיותm>=0 עם =

 

[eladי]

אכן