הפונקציה x^2

[MayaTMR]

הפונקציה x^2

איך אני מוכיחה שהיא אינה רב"ש ב-R?

 

[FineSilverMan]

בגדול זה משחק עם דלתא ואפסילון...

את צריכה למצוא דלתא כך שעבור zzz |x2-x1|<d
מתקיים zzz |x2^2-x1^2|>e
לצורך העניין, נביט רק ברביע הראשון, כך ש: x2>x1 ואז אנחנו לא צריכים את הערך המוחלט.
&nbsp
אם הטענה היא לכל אפסילון, אז מספיק למצוא אפסילון אחד שעבורו זה לא מתקיים.
כלומר מספיק להשתמש ב: e=1.
הדלתא נשאר כללי, אז לצורך הנוחות נבחר: x2-x1=d/2<d
ואז: x2=d/2+x1 ואז x1+x2=2x1+x2-x1%=%2/d+d/2
zzz 2/d+d/2=(4+d^2)/2d
מה יש לנו?
x2^2-x1^2=(x2-x1)(x2+x1)=d/2*(d/2+2/d)=1+(d^2)/4>1
ולכן הפונקציה לא רציפה במ"ש.
&nbsp
רק המעבר באחוזים לא ברור לי.

 

[MayaTMR]

אתה יכול בבקשה

לחזור שוב מהפיתוח:
x2=d/2+x1 ואז x1+x2=2x1+x2-x1%=%2/d+d/2
?
לא הבנתי את המעברים, את האחוזים ואיך בכלל הגעת ל-2 חלקי d...

תוכל לנסות לפרק את המעברים לגורמים כדי שאבין?

 

[FineSilverMan]

זה פשוט לא מעבר חשוב

רק סימנתי את המעבר הזה, אין באמת אחוזים. לא משנה.
&nbsp
יש לך מערכת משוואות בשלושה נעלמים:
x1+x2=2/d+d/2
x1-x2=d/2
&nbsp
x1=d/2+x2
d/2+x2+x2=2/d+d/2
2x2=2/d
&nbsp
x2=1/d
x1=d/2+1/d
&nbsp
זה הרעיון.
&nbsp

 

[MayaTMR]

סורי על החפירה, אבל

עדיין אני לא מבינה מהיכן צצה המשוואה הראשונה x1+x2=2/d+d/2?
מה אני לא מבינה?

 

[FineSilverMan]

זה משחק נפוץ למדי...

אנחנו מתחילים מהביטוי x2^2-x1^2>e
ממשיכים לביטוי: (x2-x1)(x2+x1)
כאשר x2-x1 כבר "ידוע" לנו, קטן מדלתא.
נשאר רק "להנדס" את x2+x1 כך ש"יתאים" לנו...
&nbsp
אם נבחר:
x2=1/d
x1=d/2+1/d
זה פשוט יסתדר מבחינת שתי המשוואות, גם מבחינת: zzz |x2-x1|<d
וגם מבחינת: zzz |x2^2-x1^2|>e
זה כל הרעיון.
&nbsp
&nbsp

 

[1ca1]

הסבר קצת אחר

אנחנו רואים מהגרף שהדלתאות קטנות ככל ש-x הולך לאינסוף.
אז אם בשלילה היתה d>0 שמתאימה ל-e=1 תמיד כמו ברציפות במ"ש, לכל x,y במרחב דלתא יתקיים
zz |x^2-y^2|<1 zz
עכשיו אנחנו נסתור את זה.
נבחר y=x+d/2 (זאת לא בחירה שלכאורה תמיד תעבוד, אבל זה אומר ש-y במרחב קבוע מ-x ומהגרף ראינו שהמרחקים צריכים לקטון, אז זה יעבוד בסוף).
ונקבל ש-
zz |x^2-y^2|=|2dx+d^2/4|<1 zz
עכשיו d קבוע חיובי כאן.
אם נבחר x גדול מאוד (למשל x>1/d כמו שהציעו כאן), נקבל ש-
zz |2dx+d^2/4|>2 zz
&nbsp
הרעיון הוא קודם ליצור קשר בין x ל-y, ואז לבחור x גדול מספיק. (אי אפשר לבחור x קבוע כאן, כי הרי אם ניקח כל קטע סגור וחסום אז הפונקציה רציפה במ"ש שם. במידה מסויימת צריך כאן איזשהו תרגיל הכנה - להראות מראש מה הדלתא שצריך לקחת לרציפות במ"ש בקטע [a,b] (זה יוצא בערך e/2max{|a|,|b|}), ואז בהינתן ש-d יהיה קבוע, אם ניקח a,b גדולים מספיק, נקבל שהדלתא לא תספיק).