מדובר בטופולוגיה
או ליתר דיוק ביריעות טופולוגיות. טופולוגיה הוא ענף במתמטיקה המכונה "גיאומטריה של יריעות גומי". בחקר הצורות בטופולוגיה מתירים מתיחה או כיווץ, אבל לא קריעה או הדבקה. באופן כללי השאלות מתמקדות ב"כמה חורים יש לגוף הזה" וב"האם ניתן להגיע מגוף אחד לגוף שני ע"י פעולות של כיווץ ומתיחה וללא קריעה או הדבקת חורים" (בלשון מתמטית רוצים לדעת האם שני הגופים הומיאומורפיים). לדוגמה אם ניקח גוש פלסטלינה נראה שאפשר לעבור ברציפות מכדור פלסטלינה לקוביית פלסטלינה. לעומת זאת אי אפשר לעבור מכדור לטבעת - כי צריך לחתוך חור, וזה "אסור". אנחנו חיים בעולם תלת מימדי ורואים מסביבינו הרבה יריעות טופולוגיות דו מימדיות (אם כי, כמובן, בדרך כלל אנחנו לא קוראים להן "יריעות טופולוגיות"). דוגמה ליריעה כזאת היא בלון (או בלשון המתמטיקאים "ספירה דו מימדית" או בסימון S^2) דוגמה נוספת היא גלגל-ים (או בלשון המתמטיקאים טורוס). ברור שאלה שתי ירעות שונות ושהן לא הומיאומורפיות. למשל אפשר להראות שאילו נצייר עיגול על פני הכדור נוכל לכווץ אותו ברציפות לנקודה (המתמטיקאים יגידו שהבלון הוא "פשוט קשר"). לעומת זאת יש עיגולים על פני הטורוס שמקיפים חורים ולכן לא יהיה ניתן לכווץ אותם ברציפות לנקודה ללא דילוג על חור. לכן הטורוס אינו פשוט קשר, וזה מראה שהוא שונה מהותית מהבלון. אפשר גם להראות שמתוך כל היריעות הדו מימדיות - הבלון הוא היריעה פשוטת הקשר היחידה. מה שעניין את פואנקרה, וטופולוגים רבים אחרים, אלה יריעות במימדים גבוהים יותר, למשל S^3 שהוא ספירה תלת מימדית (שפה של כדור ארבעה מימדי) לא ניתן לראות דבר כזה בעולמינו התלת מימדי, כי ספירה כזאת אפשר לייצר רק בעולם שיש בו ארבעה מימדים או יותר. אבל אפשר לתאר את זה לעצמינו. פואנקרה שיער שגם במימד שלוש ה"בלון" כלומר הספירה התלת מימדית היא הצורה פשוטת הקשר היחידה. אותה השערה הועלתה גם לגבי מימדים גבוהים יותר (כלומר S^4, S^5 וכן הלאה) והוכחה כנכונה. רק המקרה של 3 נותר פתוח. טוב. קצר זה לא