¼חידה

[משוחרר מאברבנל]

¼חידה

כל המכיר את ההוכחה, לא לענות. . . תהא f מחזורית ורציפה בקרן אינסופית. הוכח שהיא רב"ש שם.

 

[Guy24Gold]

זה ממש טריוייאלי

במחזור אחד של הפונק' היא רציפה על קטע סגור וחסום ולכן רציפה במ"ש. ניקח את הדלתא של הקטע הזה. מהמחזורויות הדלתא הזאת מתאימה לכל שאר הקרן.

 

[משוחרר מאברבנל]

../images/Emo128.gifשגיאה צפוייה

לא מובטח לך רב"ש באיחוד בן מנייה של קטעים סגורים.

 

[דש(א)-בורד]

שגיאה צפויה שלך

הוא לא דיבר על איחוד של קטעים בני מנייה הוא אמר שניתן להוכיח שהדלתא שמתאימה לקטע מחזורי יחיד תתאים לפונקציה לכל אורכה, וזה נכון.

 

[משוחרר מאברבנל]

לא, אני אף פעם לא שוגה

וברצינות, ראשית, ברור שניתן להוכיח, זו חידה הרי. שנית, הוא אמר, שלכל אפסילון חיובי קיים דלתא, כך שקיימים x,y בקטע סגור שמרחקם אחד מהשני קטן מאותה הדלתא ומרחק התמונות קטן מהאפסילון. ומכך, הוא הסיק באופן טריוואלי שהאיחוד של כל הקטעים הסגורים האלה, הוא רב"ש. כמה טריוואלי. ממש כמו רצינותכם. הפסיקו לקשקש, והראו פתרון.

 

[דש(א)-בורד]

הממ... אוקיי

טענה, כל פונקציה מחזורית רציפה ב[0,אינסוף) תהי f פונקציה מחזורית כשקצה המחזוריות שלה הוא k. יהי E>0 נביט בקטע הסגור [0,k], ע"פ קנטור לכל E1 קיים D כך שלכל x,y in [0,k] zzz עבורם |x-y|<D מתקיים |f(x)-f|<E1. ובפרט קיים D כזו עבור E. אך ממחזוריות הפונקציה לכל x,y in [0,00) קיימים x1,y1 in [0,k] עבורם f(x1)=f(x), f(y1)=f zzz. אם כן |f(x)-f|=f(x1)-f(y1)<E ולכן הפונקציה רציפה במידה שווה.

 

[ןן גיל ןן]

פספסת את הקאץ'

אם למשל x=k+δ/4 ו- y=k-δ/4, מה יהיו x1 ו- y1 שתתאים להם?

 

[משוחרר מאברבנל]

אכן הוא נפל בפח ../images/Emo9.gif

אבל הכל אפשר לתקן. מי שמכיר אגב את ליאת פרידלנדר, מהפתוחה, היא אמרה מבחינתה היא פוסלת את כל התרגיל על טעות כזו.

 

[דש(א)-בורד]

המממ...

k-D/4 ו-D/4?

 

[AnarchistPhilosopher]

הם יהיו שווים לדלתא חלקי 4 בערך מוחלט...

כי f(d/4+k)=f(d/4)dd f(-d/4+k)=f(-d/4)dd

 

[Renatius Cartesius]

חתימה יפה... ../images/Emo13.gif

 

[ןן גיל ןן]

בדיוק

הם נמצאים בקצוות שונים של הקטע, ולכן ההפרש ביניהם אינו קטן מ- D=δ.

 

[Guy24Gold]

עדיין לא הבנתי מה הבעיה במה שאמרתי

יהי e>0 . נתבונן בקטע zz [0,P] zz של הפונקציה. הפונק' רבמ"ש שם, ניקח את הדלתא הזאת ונראה שהיא מתאימה לכל הפונק'. יהיו כעת X1 וX2. אם קיים n טבעי כך ששניהם נמצאים בקטע zz [nP,(n+1)P] zz אז סיימנו. אם לא קיים n כזה אז קיים m טבעי עבורו X1 שייך לקטע zz [mp,(m+1)p] zz. מהמחזוריות קיים c ששייך לקטע האחרון המקיים zz f(c)=f(x2) zz. וסיימנו. מה הבעיה פה?

 

[MathMythMath]

איך זה?

 

[MathMythMath]

טוב נו :\

לא טרחתי לכתוב מסקנות בסוף. בכל מקרה, זה הרעיון

 

[ןן גיל ןן]

אותה הטעות כמו אצל דש(א)

 

[MathMythMath]

אוקי, בשביל הספורט

בנסיון להבין היכן הטעות בדיוק חפרתי קצת בטענה. בסוף היא נמצאה... (נדמה לי

)

 

[avinamal]

../images/Emo58.gif

פעם נוספת, המתמטיקאים בפורום צריכים להרכין ראשם בבושה על ה-"ברור ש...", שמקומו לא יכירו בפורום זה. נעבור לאנגלית:

Let F:R→R be some continuous periodic function. Denote its period by P, i.e F(x+P) = F(x). Since [0,2P] is compact, F is uniformly continuous on [0,2P] <link 1>. So for every ε > 0 there exist δ > 0 S.T: | x - y | ≤ δ → | F(x) - F | ≤ ε for every x,y in [0,2P]. We can assume δ ≤ P. Now, let x,y be in [0,∞) and satisfy | x - y | ≤ δ. Assume w.n.l.o.g x ≤ y. We can write x = kP + r, k being a non-negative integer and r real in [0,P). F(x) = F(kp + r) = F(r) since F is P-periodic. Take u = r + y - x, so: 0 ≤ u = r + | y - x | ≤ r + δ ≤ r + P < 2P, so u is in [0,2P]. Note that F(u) = F(r + y - x) = F(r + y - (kP + r) ) = F. So F - F(x) = F(u) - F(r). We see that r,u are in [0,2P], and | u - r | = | y - x |, so: For every ε > 0 there exist δ > 0 S.T: | u - r | ≤ δ → | F(u) - F(r) | ≤ ε Implies: For every ε > 0 there exist δ > 0 S.T: | x - y | ≤ δ → | F(x) - F | ≤ ε​

 

[Fingertip]

לא התעמקתי... אבל זה הקאץ'

לא מתסכלים על קטע סגור באורך P אלא על קטע סגור באורך 2p. אהד.

 

[yuvalmadar]

או שכן מסתכלים על קטע מאורך P

ואז מחליפים בין הנקודות במידת הצורך. בכל מקרה, קושי טכני יותר מאשר רעיוני.