חידה
- פותח הנושא n s 92
- פורסם בתאריך
תשובה
אין כאן שום תחכום. נתון בפניך מצב של שני וילונות. מאחורי אחד יש מכונית ומאחורי השני אין. הסיכוי הוא 50-50, וזה לא משנה אם תחליף או לא. כל מה שהיה לפני כן עם הוילון השלישי לא משנה. החידה סומכת על זה שאנשים יתבלבלו בגלל כל מה שקרה לפני כן, כיוון שלא מבינים שהסתברות זה דבר שתמיד תלוי במידע הנתון. ברגע שחשפו וילון אחד - הוא יוצא מהמשוואה וההסתברות לגבי שני האחרים משתנה לחצי-חצי.
אין כאן שום תחכום. נתון בפניך מצב של שני וילונות. מאחורי אחד יש מכונית ומאחורי השני אין. הסיכוי הוא 50-50, וזה לא משנה אם תחליף או לא. כל מה שהיה לפני כן עם הוילון השלישי לא משנה. החידה סומכת על זה שאנשים יתבלבלו בגלל כל מה שקרה לפני כן, כיוון שלא מבינים שהסתברות זה דבר שתמיד תלוי במידע הנתון. ברגע שחשפו וילון אחד - הוא יוצא מהמשוואה וההסתברות לגבי שני האחרים משתנה לחצי-חצי.
הנה תמונה שממחישה למה אינך צודק
נניח שאני בוחר תמיד את וילון א, ונציג את כל האפשרויות האפשריות עם הסתברויותיהן. הטור הימני ביותר מציג את האחוזים שכל מקרה יקרה. צהוב זה מה שבחרתי, כחול זה המסך שהורם. בטבלה הראשונה פשוט התפלגות אחידה לשלוש המקרים. בטבלה השניה מוצג מה שעושה המנחה: מרים וילון אחד. במקרה השני והשלישי אין לו ברירה - הוא מוכרח להרים במקרה השני את וילון ג, ובמקרה השלישי את וילון ב. במקרה הראשון הוא יכול לבחור מה להרים - אבל בכל מקרה, ההסתברות של המקרה הראשון היא רק שליש מסך הכל, אז כל אחת מהאפשרויות היא חצי שליש = שישית. הטבלה השלישית היא אותו דבר, לא משנה מה הוא הרים. במקרה הראשון - שהוא שליש - אם אחליף - אפסיד. בשני המקרים האחרים - אנצח. כל אחד משלושת המקרים - 33%. => יש לי סיכוי של 66.66666% להצליח!
נניח שאני בוחר תמיד את וילון א, ונציג את כל האפשרויות האפשריות עם הסתברויותיהן. הטור הימני ביותר מציג את האחוזים שכל מקרה יקרה. צהוב זה מה שבחרתי, כחול זה המסך שהורם. בטבלה הראשונה פשוט התפלגות אחידה לשלוש המקרים. בטבלה השניה מוצג מה שעושה המנחה: מרים וילון אחד. במקרה השני והשלישי אין לו ברירה - הוא מוכרח להרים במקרה השני את וילון ג, ובמקרה השלישי את וילון ב. במקרה הראשון הוא יכול לבחור מה להרים - אבל בכל מקרה, ההסתברות של המקרה הראשון היא רק שליש מסך הכל, אז כל אחת מהאפשרויות היא חצי שליש = שישית. הטבלה השלישית היא אותו דבר, לא משנה מה הוא הרים. במקרה הראשון - שהוא שליש - אם אחליף - אפסיד. בשני המקרים האחרים - אנצח. כל אחד משלושת המקרים - 33%. => יש לי סיכוי של 66.66666% להצליח!
הכל טוב ויפה ומשכנע
אבל לא, זה לא נכון... אתם מוזמנים לעשות ניסוי כזה עם כוסות ועם חבר שידע איפה נמצא מטבע או חפץ אחר שמוחבא מתחת לאחת הכוסות. תעשו לעצמכם סטטיסטיקה. בכל פעם הוא יוריד כוס אחת. 10 פעמים תחליפו, 10 פעמים אל תחליפו, ותראו איפה אתם מצליחים יותר. תעשו את זה גם 100 פעם, ככל שתעשו יותר זה יהפוך אמין יותר. זה פשוט לא נכון, כי ברגע שנשארים שני וילונות הסיוכי הוא 50/50, כל הקאץ' וכל ההסברים והדוגמאות שתספקו לא יוכיחו כלום. מה שכן, לפי הדוגמא האחרונה שניתנה פה עם המיליון וילונות- זה כבר עניין פסיכולוגי, צריך פה רק היגיון. אם המנחה יוריד 999,999 וילונות וישאיר את זה שאתה בחרת ועוד אחד- אז יהיה הרבה יותר הגיוני להחליף וילון כי הגיוני שהמנחה ישאיר רק את הוילון הנכון, אבל הסיכויים לא משתנים בין שני הוילונות ונשארים 50-50. הפתרונות שאתם מספקים, אם כן, נכונים רק מבחינה הגיונית ובמידה שהמנחה או מי שזה לא יהיה - יודע איפה נמצאת המכונית. מבחינה סטטיסטית, הסיכויים שווים.
אבל לא, זה לא נכון... אתם מוזמנים לעשות ניסוי כזה עם כוסות ועם חבר שידע איפה נמצא מטבע או חפץ אחר שמוחבא מתחת לאחת הכוסות. תעשו לעצמכם סטטיסטיקה. בכל פעם הוא יוריד כוס אחת. 10 פעמים תחליפו, 10 פעמים אל תחליפו, ותראו איפה אתם מצליחים יותר. תעשו את זה גם 100 פעם, ככל שתעשו יותר זה יהפוך אמין יותר. זה פשוט לא נכון, כי ברגע שנשארים שני וילונות הסיוכי הוא 50/50, כל הקאץ' וכל ההסברים והדוגמאות שתספקו לא יוכיחו כלום. מה שכן, לפי הדוגמא האחרונה שניתנה פה עם המיליון וילונות- זה כבר עניין פסיכולוגי, צריך פה רק היגיון. אם המנחה יוריד 999,999 וילונות וישאיר את זה שאתה בחרת ועוד אחד- אז יהיה הרבה יותר הגיוני להחליף וילון כי הגיוני שהמנחה ישאיר רק את הוילון הנכון, אבל הסיכויים לא משתנים בין שני הוילונות ונשארים 50-50. הפתרונות שאתם מספקים, אם כן, נכונים רק מבחינה הגיונית ובמידה שהמנחה או מי שזה לא יהיה - יודע איפה נמצאת המכונית. מבחינה סטטיסטית, הסיכויים שווים.
../images/Emo31.gif
המקרה הזה לא סתם קרוי פרדוקס. גש למורים שלך למתמטיקה, תציג בפניהם את החידה ותראה מה הם יאמרו. המתמטיקה תגיד לך, חרף כל הנתונים שבאו לפני- שאם מוצגות בפנייך שתי אפשרויות ואחת מהן נכונה- יש לך 50% לצאת צודק. הסטטיסטיקה אכן תוכיח אחרת אחרי מספר נסיונות.... אבל- הסטטיסטיקה משקרת פה, לא המתמטיקה. תחשוב שאחרי שהורידו וילון אחד ונשארו שניים, אתה עוצם עיניים ומערבבים ביניהם. כשאתה פוקח עיניים אתה לא יודע באיזה מהם בחרת קודם. מה הסיכויים שלך לבחור עכשיו בוילון הנכון? אני בספק אם לא 50/50. מה השתנה? מס' הוילונות לא השתנה, הנתונים שיש לך לא השתנו, שכן לא ידעת מי מהשניים הוא הוליון הנכון. להגיד לך מה השתנה? ממש כלום. אלה בדיוק אותם סיכויים בשני המקרים. לכל מה שמסביב אתה יכול לקרוא "אשליות", פסיכולוגיות, הגיוניות, סטטיסטיות, אבל לא יותר מסתם אשליות...
המקרה הזה לא סתם קרוי פרדוקס. גש למורים שלך למתמטיקה, תציג בפניהם את החידה ותראה מה הם יאמרו. המתמטיקה תגיד לך, חרף כל הנתונים שבאו לפני- שאם מוצגות בפנייך שתי אפשרויות ואחת מהן נכונה- יש לך 50% לצאת צודק. הסטטיסטיקה אכן תוכיח אחרת אחרי מספר נסיונות.... אבל- הסטטיסטיקה משקרת פה, לא המתמטיקה. תחשוב שאחרי שהורידו וילון אחד ונשארו שניים, אתה עוצם עיניים ומערבבים ביניהם. כשאתה פוקח עיניים אתה לא יודע באיזה מהם בחרת קודם. מה הסיכויים שלך לבחור עכשיו בוילון הנכון? אני בספק אם לא 50/50. מה השתנה? מס' הוילונות לא השתנה, הנתונים שיש לך לא השתנו, שכן לא ידעת מי מהשניים הוא הוליון הנכון. להגיד לך מה השתנה? ממש כלום. אלה בדיוק אותם סיכויים בשני המקרים. לכל מה שמסביב אתה יכול לקרוא "אשליות", פסיכולוגיות, הגיוניות, סטטיסטיות, אבל לא יותר מסתם אשליות...
ענבל צודקת...
הסטטיסטיקה היא חלק מהמתמטיקה - וזה לא פרדוקס. בטבלה הצבעונית שהכנתי, מוצגים בבירור כל המקרים האפשריים (כאשר החבירה היתה בוילון א), ישנם פי שלשה מקרים (אם תוסיף גם את "בחירה בוילון ב", ו"בחירה בוילון ג"). פשוט תקח את הר\אצבע ותעבור על השורות בטבלה, כל שורה בטבלה הראשונה זו הסתברות של 1 מתוך 3. אחר כך, לגבי כל אחד משלושת אלו, יש את הבחירה של המנחה. בשורות האחרונות בחירתו כפויה. זה אומר שבשני שליש מהמקרים הוא יותיר את הוילון עם המכונית גלמוד ועזוב, וכשתחליף את הבחירה - תקבל מכונית (תתחדש!). רק בשורה הראשונה (שההסתברות שהיא תקרה היא שליש) יש למנחה בחירה. לא משנה מה הוא יבחר, הוא יצא מתוך הסתברות של שליש, ולכן כל בחירה שלו - היא חצי משליש. וזהו!
הסטטיסטיקה היא חלק מהמתמטיקה - וזה לא פרדוקס. בטבלה הצבעונית שהכנתי, מוצגים בבירור כל המקרים האפשריים (כאשר החבירה היתה בוילון א), ישנם פי שלשה מקרים (אם תוסיף גם את "בחירה בוילון ב", ו"בחירה בוילון ג"). פשוט תקח את הר\אצבע ותעבור על השורות בטבלה, כל שורה בטבלה הראשונה זו הסתברות של 1 מתוך 3. אחר כך, לגבי כל אחד משלושת אלו, יש את הבחירה של המנחה. בשורות האחרונות בחירתו כפויה. זה אומר שבשני שליש מהמקרים הוא יותיר את הוילון עם המכונית גלמוד ועזוב, וכשתחליף את הבחירה - תקבל מכונית (תתחדש!). רק בשורה הראשונה (שההסתברות שהיא תקרה היא שליש) יש למנחה בחירה. לא משנה מה הוא יבחר, הוא יצא מתוך הסתברות של שליש, ולכן כל בחירה שלו - היא חצי משליש. וזהו!
ולספקנים...
הנה מבחן סטטיסטי. בקובץ האקסל המצורף המחשב מגריל עבור כל לחיצה על הכפתור F9, מאתיים אפשרויות של וילון שמאחוריו המכונית; וילון שאותו המשתתף בחר; והוילון שיורם בהתאם לבחירה (אם אין ברירה - הוילון השלישי, ואם יש ברירה - להגריל בין שני הוילונות). אחרי כל הנ"ל, ישנו הטור הרביעי שבו הבחירה של המשתתף השתנתה. בטור החמישי מופיע 1 עבור נצחון מבלי להחליף את הבחירה המקורית (ואפס עבור כשלון) ובטור השישי מופיע 1 עבור נצחון ע"י החלפת הבחירה המקורית (ואפס עבור כשלון) למעלה מסוכמים הנצחונות של הטור החמישי ושל הטור השישי, ומחושבים באחוזים. לחצו על F9 כמה פעמים, ותווכחו לראות ש: בלי החלפה - הסיכויים הם בסביבת 33% עם החלפה - הסיכויים הם בסביבת 66% זהו! (במקרה שבו המנחה אינו יודע מאחורי איזה וילון המכונית, צריך להוציא מחישוב את המקרים שבהם הוא בטעות הרים את הוילון שמאחוריו המכונית [שאלו שליש מהמקרים] וכך בעצם יוצא שהסיכויים בהחלפה או אי החלפה - זהים)
הנה מבחן סטטיסטי. בקובץ האקסל המצורף המחשב מגריל עבור כל לחיצה על הכפתור F9, מאתיים אפשרויות של וילון שמאחוריו המכונית; וילון שאותו המשתתף בחר; והוילון שיורם בהתאם לבחירה (אם אין ברירה - הוילון השלישי, ואם יש ברירה - להגריל בין שני הוילונות). אחרי כל הנ"ל, ישנו הטור הרביעי שבו הבחירה של המשתתף השתנתה. בטור החמישי מופיע 1 עבור נצחון מבלי להחליף את הבחירה המקורית (ואפס עבור כשלון) ובטור השישי מופיע 1 עבור נצחון ע"י החלפת הבחירה המקורית (ואפס עבור כשלון) למעלה מסוכמים הנצחונות של הטור החמישי ושל הטור השישי, ומחושבים באחוזים. לחצו על F9 כמה פעמים, ותווכחו לראות ש: בלי החלפה - הסיכויים הם בסביבת 33% עם החלפה - הסיכויים הם בסביבת 66% זהו! (במקרה שבו המנחה אינו יודע מאחורי איזה וילון המכונית, צריך להוציא מחישוב את המקרים שבהם הוא בטעות הרים את הוילון שמאחוריו המכונית [שאלו שליש מהמקרים] וכך בעצם יוצא שהסיכויים בהחלפה או אי החלפה - זהים)
יופי של הדגמה../images/Emo45.gif ועוד משהו../images/Emo27.gif
שבא לי לומר
במציאות מייצרים לכם בלבול פסיכולוגי אדיר, כמה שלא תכניסו בפנים סטטיסטיקה, כזה בלבול שכמעט ואינכם עומדים בו
. זה הולך, למשל ככה: בחרתם בוילון מס' 1. אתם בטוחים? כן? לא? או קיי, נניח שנשארתם עם הוילון. עכשיו אתם לא יודעים בשלב זה, אם למנחה יש אפשרות בכלל להציע לכם משחק אחר. אולי יש לו, נגיד, איזה שתי קופסאות שם מאחור? אולי העובדה שהוא לא הציע לכם לעבור למשחק הקופסאות מעידה על משהו, ואולי ההיפך?
נאמר שעברתם גם את השלב הזה והחלטתם להישאר עם הוילון. אותו אחד שבחרתם מלכתחילה. עכשיו המנחה פותח את הוילון השני ו- הנה מאחוריו עז. האם תחליפו? נוותר על התיאור של המו"מ שבעקבות ההחלטה, ונניח שהחלטתם להחליף. אתם בטוחים בהחלטה? מספיק! החלפתם ודי. הוילון נפתח ו – לאט לאט לאט לאט לאט ו – מאחוריו יש עז! אווווווווווווווו... קריאת אכזבה נשמעת מהקהל שברקע:-O אבל רגע. רגע, רגע, רגע. לעז יש פתק באוזן. בואו נתקרב ונראה. מה זה הפתק הזה. מהו? המנחה מתקרב. שולף את הפתק מהאוזן ו- אוי זה רק הטישיו שהשתמשו בו כדי לנקות לעז את הגי'פה מהאוזן. אווווווווף אז בי ושלום. אבל שנייה. שנייה, חזרו, זה לא נגמר. הנה, המנחה מצא מכתב אמיתי תלוי על הצוואר של העז (תיש/ דחליל וכו'). טוב.... הנה המכתב. במכתב אולי רשום שזכיתם במכונית, אבל אולי יש בו זכייה קטנה של תלושי שי על סך 1500 ₪ לקנייה בחנות למוצרי חשמל. מה תעשו עכשיו? וכך זה ממשיך וממשיך וממשיך בצורה מורטת עצבים, הפוך על הפוך על הפוך על הפוך, ממש נראה שזה אינסופי. חלאס! בוקר טוב לכולם
שבא לי לומר
התשובה שלי -
האמת שבהתחלה גם אני חשבתי שזה לא משנה אבל מי ששאל אותי את החידה הסביר לי שאני טועה ושעדיף להחליף. הסבר: נניח שבחרת בווילון הימני - יש לך 33% שאתה צודק, ו77% שהמכונית נמצאת מאחורי ווילון אחר, ברגע שפותחים את הווילון - לך נשאר 33% שאתה צודק ועל הווילון השני יש 77% ואם זה לא מספיק אז הנה הוכחה שנשמעת הרבה יותר טוב: נניח שיש מיליון ווילונות שמאחורי אחד מהם יש מכונית, ואתה בוחר בווילון. כרגע יש לך אחד למיליון שאתה צודק ו 999,999 למיליון שאתה טועה. אחרי שפותחים את כל הווילונות ונשאר הווילון שבחרת והווילון שלא פתחו, האם תחליף או לא?
האמת שבהתחלה גם אני חשבתי שזה לא משנה אבל מי ששאל אותי את החידה הסביר לי שאני טועה ושעדיף להחליף. הסבר: נניח שבחרת בווילון הימני - יש לך 33% שאתה צודק, ו77% שהמכונית נמצאת מאחורי ווילון אחר, ברגע שפותחים את הווילון - לך נשאר 33% שאתה צודק ועל הווילון השני יש 77% ואם זה לא מספיק אז הנה הוכחה שנשמעת הרבה יותר טוב: נניח שיש מיליון ווילונות שמאחורי אחד מהם יש מכונית, ואתה בוחר בווילון. כרגע יש לך אחד למיליון שאתה צודק ו 999,999 למיליון שאתה טועה. אחרי שפותחים את כל הווילונות ונשאר הווילון שבחרת והווילון שלא פתחו, האם תחליף או לא?
לא לגמרי מדיוק
קודם כל זה 66 ולא 77. דבר שני ההסבר שלך לא לגמרי מדויק. שים לב שהחישוב בדוגמא שנתת הוא לא מדויק. אבל נעזוב את זה.מה שמבלבל הרבה אנשים ואת ענבל
זה שהם חושבים שברגע שחושפים את הווילון אז הוא כבר לא רלוונטי. זה לא נכון, והסיבה היא שאיזה ווילון חושפים תלוי בבחירה שלך. הדרך הפשוטה להסתכל על היא אם מבינים שבשני שליש מהמקרים אתה תבחר את הווילון הלא נכון וזה אומר שבשני שליש מהמקרים יהיה כדאי לך לעבור...
קודם כל זה 66 ולא 77. דבר שני ההסבר שלך לא לגמרי מדויק. שים לב שהחישוב בדוגמא שנתת הוא לא מדויק. אבל נעזוב את זה.מה שמבלבל הרבה אנשים ואת ענבל
זה שהם חושבים שברגע שחושפים את הווילון אז הוא כבר לא רלוונטי. זה לא נכון, והסיבה היא שאיזה ווילון חושפים תלוי בבחירה שלך. הדרך הפשוטה להסתכל על היא אם מבינים שבשני שליש מהמקרים אתה תבחר את הווילון הלא נכון וזה אומר שבשני שליש מהמקרים יהיה כדאי לך לעבור...Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.