שאלה על מתמתיקה לא תרגיל

[mor200602007]

שאלה על מתמתיקה לא תרגיל

כאילו אם אתה לומד מתמתיקה לתואר ראשון ושני מה יש לך לעשות אם זה מה אתה כבר יכול לחקור כיאלו אני לא מזלזל כיאלו זה לא כימיה ביולגיה פיזקיה נכון ,של המדעים האלו צריכים מתמיתקה.כיאלו איזה תעלמות מתמיתקיות יש מה יש עוד לחקור בתחום תודה לכל העונים.

 

[Vlad5]

יש המון

מתימטיקה היא מדע בפני עצמה, יש בתוכה המון בעיות שעדיין לא נפתרו, ולחלקן (אם לא לרובן) יש השלכות על תחומים, שאני מאמין שכן חשובים בעינך; לדוגמה: מדעי המחשב (בעיות P ו NP), כלכלה, פסיכולוגיה, סוציאולוגיה (כולן תחת הכותרת של "דילמת האסיר" - במסגרת תורת המשחקים).

 

[RichardSmith]

../images/Emo31.gif אני נגד הסיווג של מתמטיקה כמדע...

מדע זה תחום ידע עם ניסויים, השערות, ניסיון להסביר את העולם. המתמטיקה לא קשורה למציאות. אפשר להגיד שהיא מטה-פיזיקה. אבל כמובן שזה לא ממש נכון.

 

[the new L]

אני עכשיו עורך ניסויים ומעלה השערות

יש לי משהו שאני חושד בערך שהוא נכון אבל לא יודע מה בדיוק הניסוח הנכון. אז אני עורך ניסויים (בודק את ההשערה עבור מקרים פרטיים) ומנסח בהתאם השערות.

 

[RichardSmith]

אבל זה ההפך מהדוגמה המדעית...

בחקר מדעי אתה משער משהו ומנסה למצוא ניסויים שיפריכו את התאוריה. במידה והניסויים לא נכונים, התאוריה בנתיים נכונה. המתמטיקה היא שפה, היא לא מדע. המדע משתמש במתמטיקה כי היא יותר מדוייקת מהלשון. אפשר להסתכל על העולם ללא חשבון/מתמטיקה, זה פשוט דרך פחות יעילה. למשל חלוקה של ארבעה תפוחים לשני אנשים, לוקחים תפוח אחד ונותנים לראשון, השני לשני עד לסוף הכמות. פשוט אלגוריתם מסויים.

 

[Fingertip]

ומי אמר שאלגוריתם זה לא מתמטיקה?

צב"ר. במתמטיקה ועוד איך עורכים ניסויים. כפי שלירן אמר: כשיש לי איזה רעיון מסויים, או כשאני חושב שאני מזהה תבנית מסויימת, אני בודק איך המבנים המתאימים מתנהגים במקרים פרטיים מסויימים. אם זה מתאים לתיאוריה שלי, אני מנסה להוכיח אותה. אם זה לא כל כך מתאים, אני בודק איפה זה נכשל במקרה הפרטי שבדקתי, ומנסה לשנות את התיאוריה כך שתכלול את ההתנהגות הזו. ההבדל המשמעותי הוא שבמתמטיקה אתה יכול גם להוכיח ללא עוררין את התיאוריות שלך, מה שלא תמיד אפשר לעשות בפיסיקה או במדעים האחרים. אהד.

 

[RichardSmith]

הממ

כמו שמדעי המדינה זה לא ממש מדע... אלגוריתם זה רשימת פעולות. אומנם יש אלגוריתם במתמטיקה אבל אלגוריתמים שייכים לעולם הלוגיקה. למשל בויקי:

In mathematics, computing, linguistics, and related disciplines, an algorithm is a finite list of well-defined instructions for accomplishing some task which, given an initial state, will terminate in a defined end-state.​

העובדה שהמתמטיקה היא באותה רמה כמו מחשבים ושפות מצביע על כך שאלגוריתמים לא שייכים למתמטיקה לבדה... בכל מקרה, זאת נקודת המבט האישית שלי. אתה יכול לא להסכים לזה.

 

[Fingertip]

לא הבנתי...

והעובדה שבאינטגרלים משתמשים גם בביולוגיה, פיסיקה, כימיה והנדסה אומרת שאינטגרלים זה לא מתמטיקה? אלגוריתם, כמו הרבה כלים מתמטים אחרים, שימושיים מאוד בהרבה מאוד תחומים. בדרך כלל הם מאפשרים לנו להוכיח דברים לגבי תהליכים (ברוב המקרים, להוכיח שתמיד ניתן לבצע אותם). אהד.

 

[RichardSmith]

האם אתה מסכים לתיאור הבא של מתמטיקה:

The study of the measurement, properties, and relationships of quantities and sets, using numbers and symbols.​

אינטגרל מודד לך כמות וכו', אלגוריתם לא. זה בסך הכל תהליך לוגי, שרשרת פעולות. המתמטיקה עושה שימוש באלגוריתם, לא ההפך.

 

[Fingertip]

לא מסכים

המתמטיקה כוללת כל כך הרבה יותר. חיפשתי בויקיפדיה הגדרה שיותר מסתדרת לי עם מה שאני חושב שהמתמטיקה היא, ואני יותר מסכים עם הקביעה:

Mathematics [...] is the body of knowledge centered on concepts such as quantity, structure, space, and change, and also the academic discipline that studies them.​

הייתי מוסיף לרשימה "quantity, structure, space and change" גם את המילה "pattern", למרות שאני חושב שכותבי הערך ניסו לכלול אותו תחת "structure". אלגוריתם הוא סוג של מבנה. יש לך אוסף מוגדר של פעולות שמהן אתה יכול לבנות אלגוריתמים, ולכל אלגוריתם אתה מייחס משמעות (סמנטיקה) שלפיה נקבע התהליך שאותו הוא מתאר. אהד.

 

[RichardSmith]

מבנה מתמטי...

זה אובייקט כגון שדה ומטריצה. לא פעולות לוגיות. האם טענה מטה-מתמטית היא טענה מתמטית?

 

[Fingertip]

מה פתאום?

מבנה מתמטי יכול להיות משהו אזוטרי יותר: גרף הוא מבנה מתמטי. גם אוטומט הוא מבנה מתמטי. אותו כנ"ל למכונת טיורינג. למה שאלגוריתם לא יהיה מבנה מתמטי? (ויש עוד: משפטים במתמטיקה הם מבנים מתמטים של הלוגיקה המתמטית. אוסף מסויים של מבנים מתמטים אף הוא מבנה מתמטי.) אהד.

 

[RichardSmith]

הממ

http://mathworld.wolfram.com/Theorem.html משפט זה משהו מטה-מתמטי. לא ענית על שאלתי.

 

[Fingertip]

למה אתה מתכוון ב"מטה מתמטי"?

מטרת הלוגיקה המתמטית היא להפוך את המתמטיקה למבנה מתמטי. בעזרתה, משפטים במתמטיקה הם מבנים מתמטיים, עליהם ניתן להוכיח מטה-משפטים. הקישור שהבאת נחמד, אבל הוא לא מגדיר במדוייק משפט, ובטח שלא מבסס את הקביעה שמשפטים הם לא מבנים מתמטיים. בכל מקרה, עדיין לא הצדקת את הקביעה שאלגוריתם אינו מבנה מתמטי. אהד.

 

[RichardSmith]

ההצדקה נעוצה במשמעות...

יש את "עולם" המתמטיקה אשר מורכב מוקטורים, מספרים, מבנים וכו' ויש את העולם החיצוני לעולם המתמטיקה. כאשר מדברים על: 2+4=6 מדברים על טענה מתמטית אבל כאשר מדברים על: "2+4=6" מדברים על טענה לוגית... ההבדל נעוץ ביכולת לחלק את המשפט הראשון ל: 6=2+2+2 וזה עדיין שומר על הנכונות המתמטית. לעומת זאת: "6=2+2+2" זה ביטוי אחר לגמרי. הכוונה בסמלים עצמם. משפט מתמטי מתאר את המציאות המתמטית אבל בעצמו נמצא מחוץ לעולם. אתה יכול לבנות אלגוריתם שלוקח כל פעם את המספר 1 ומחבר, נניח 8 איטרציות לקבלת המספר 8. המספרים עצמם הם בתוך העולם המתמטי אבל הפעולה נמצאת מחוץ לעולם. לעומת זאת הביטוי: 1+1+...+1=8 הוא כן ביטוי מתמטי. לפחות ככה אני רואה זאת.

 

[the new L]

אז אתה לא רואה זאת נכון

אלגוריתם הוא בהחלט אובייקט מתמטי, בדיוק כמו שוקטור הוא אובייקט מתמטי. לא פחות ולא יותר, את שניהם אפשר לתאר בעזרת השפה של תורת הקבוצות כתור קבוצות מסויימות.

 

[RichardSmith]

אוקי.

 

[Fingertip]

אבל למה העולם שלך כל כך מוגבל?

למה אי אפשר להוסיף לו אברים נוספים, כמו אלגוריתמים, עצים, גרפים, משפטים, תכניות מחשב וכו'? האמצעי שדרכו ניתן להוסיף מבנים חדשים ל"עולם" של המתמטיקה, הוא ההגדרה המתמטית. כאשר משהו מוגדר היטב, הרי שקיים לו מבנה מתאים ב"עולם המתמטי". אני יכול להתייחס ל"6 = 2 + 4" בתור משוואה באלגברה, או בתור מחרוזת של סמלים. אני בוחר מתי להתייחס לזה בתור משוואה באלגברה (למשל, כשאני עוסק באלגברה או באריתמטיקה) ומתי בתור מחרוזת (למשל, כשאני עוסק בלוגיקה). אותו הדבר לגבי אלגוריתמים. אני יכול להתייחס לאלגוריתם הנ"ל בתור תיאור של פעולה, ואני יכול להתייחס אליו כאל איבר בקבוצת האלגוריתמים שפותרים נכונה את הבעיה שמתאימה לכל קלט את המספר 8. לדעתי, הראיה שלך את המתמטיקה היא ראיה מאוד מצומצמת ומוכוונת פיסיקה. יש הרבה מאוד מתמטיקה שמכוונת בכלל בכיוונים אחרים לגמרי, שיותר קרובים למה שאני ציינתי. יותר מזה, תחומים מתקדמים חדשים כדוגמת טופולוגיה, אלגברה ולוגיקה לדעתי "מיצו" את עצמם בצורה שאתה מתאר, והדרך היחידה שלהם להתקדם הלאה היא אכן לאמץ את הדרכים שאני ציינתי. אבל שוב, הפסקה האחרונה היא דעה אישית שלי, ואין לי מושג איך לגבות אותה בעובדות מוצקות, אז אני מבקש לא להתייחס אליה ביתר כובד ראש. אהד. אהד.

 

[RichardSmith]

הממ

זה לא שאי אפשר לחקור בתחומים הללו. פשוט יש הבחנה מבחינתי בין משהו מתמטי לבין משהו שלא. ועדיין יש מה לחקור במתמטיקה.

 

[Fingertip]

אכן יש הרבה הבדלים בין המתמטי ללא...

אבל זה לא משנה את העובדה שמתמטיקה היא מדע, ושיטות נפוצות למחקר מדעי, כגון ניסוי וטעיה תקפות גם לגבי המתמטיקה. (תזכורת: מכאן התחיל הדיון). בכל מקרה, אני לא רואה הרבה טעם בהבחנה כזה, חוץ מאולי להשקיט מצפון בצורה כלשהיא: שמתמטיקה אמורה להיות משהו מסויים, וכל מה שהוא לא הדבר הזה הוא "לא מתמטי". אהד.