טריקים אלגבריים

[SPEiDy]

טריקים אלגבריים

שלום, חשבתי לפתוח אשכול אם כל מיני טריקים אלגברים שיכולים לעזור למשל כמו : x^2+y^2=(x+y)^2-2xy וכל מיני כאלה הצבות ושטויות איזה טריקים יש לכם ???

 

[כוח הרסני]

יש לי טריק ענק . . .

1 + 1 = 2

 

[SPEiDy]

חלששש נו ראסמי תהיו

רצינים

 

[Nightmare Arousing]

אני הייתי מציע ש...

עם כל טריק שמישהו מוסיף הוא צריך לצרף תרגיל שהטריק יעזור לו לפתור ושאי אפשר בלעדיו, או לפחות שיסביר איך אפשר להשתמש בטריק. תרגיל לדוגמא לטריק הראשון: x^2+y^2=(x+y)^2-2xy בפונקציה ריבועית נתון:

-b/a=9 c/a=20​

חשב את x1^2+x2^2 הנתון הראשון מייצג את סכום הפתרונות של משוואה ריבועית, לכן: x1+x2=9 הנתון השני מייצג את המכפלה של שני הפתרונות, לכן x1x2=20 לפי הטריק שלמעלה: x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2 x1^2+x2^2=9^2-2*20 x1^2+x2^2=81-40=41

 

[DarkCrystal]

טריק אלגברי

(aw - bx - cy - dz)² + (ax + bw + cz - dy)² + (ay - bz + cw + dx)² + (az + by - cx + dw)² = (a² + b² + c² + d²)(w² + x² + y² + z²)​

 

[Nightmare Arousing]

אהבתי ../images/Emo99.gif

 

[the new L]

טריק מגניב (ליודעי לינארית)

למי שיודע אלגברה לינארית, להלן טריק מגניב: נניח שנתונים לכם שני פולינומים f ו- g ואתם רוצים לדעת אם יש להם שורשים משותפים. כל מה שצריך לעשות הוא לחשב את הדטרמיננטה של מטריצת סילבסטר (קוראים לזה eliminant של הפולינומים), וקל להוכיח שלשני הפולינומים יש גורם משותף לא טריוויאלי אם ורק אם הדטרמיננטה הזאת היא 0.

 

[גיל14]

חשבתי שזה הרסולטנט?

 

[the new L]

גם - שתי שמות לאותו דבר

 

[עריסטו]

חידה

מיצאו דרך נוספת לדעת האם לשני פולינומים יש שורש משותף.

 

[1ca1]

עוד טריק בעניין

יש לכם פולינום מעל שדה כלשהו, ואתם רוצים לדעת אם יש לו שורשים מריבוי 2 ומעלה, אז כל השורשים שלו מריבוי 1 <=> GCD(f,f')=1, כאשר אנחנו מסתכלים על הנגזרת כפעולה פורמלית (סה"כ מדובר מעל שדה כלשהו)

 

[the new L]

ובשביל לדעת

אם יש לf ול f' שורשים משותפים (שבעצם ככה בודקים אם יש לו שורשים מריבוי 2 ומעלה) - חוזרים למה שאמרתי למעלה, ומחשבים את האלמיטנט של f ושל הנגזרת של f

 

[1ca1]

תראה

בכל מקרה, מעל שדה עם מציין אפס, כל פולינום הוא ספרבילי אז מעל Q וכו' זה כבר סיפור גמור. וןמעל שדות ממציין סופי, בד"כ ע"י גזירה קל לראות שאין שורשים משותפים (סה"כ מתעניינים ברוב המקרים בהרחבות גלואה שהן כידוע ספרביליות)

 

[srulikbd]

הפנייה לאתר...

חוץ מהטריק הזה, יש באתר הזה הרבה שאלות שמצריכות טריקים בפירוק לגורמים ועוד כל מיני, אבל אני לא זוכר הכל וגם לא הייתי רושם הכל אם הייתי זוכר, פשוט פתרו כמה בעיות

 

[srulikbd]

הנה למשל-שרשור הכללות של פירוק לגור

לגורמים.

 

[TUCG]

וואי.

זה אחד מהדברים הכי מגניבים שראיתי בחיים שלי. זה לא דורש הרבה ידע, אבל זה ממש דורש ראש פתוח... פשוט מגניב (אני מדבר על הדרך הפשוטה שפורסמה בסוף הדיון)

 

[srulikbd]

כן דיי

אבל אני מאמין שיש עוד הרבה טריקים דומים, פשוט כאן הם עשו שימוש בנוסחא הידועה של פתרון ממעלה ריבועית, במקום לעשות את כל הדרך עד אליה...בטח יש עוד טריקים שמקטינים את המעלה של הפונקצייה...

 

[1ca1]

עוד טריק נחמד

למרות שהרבה אנשים יודעים שאפשר לקבל אותו בדרכים שונות. ידוע כי בהינתן n+1 נקודות במישור (שונות בערך הx) אזי עובר פולינום אחד ויחיד דרכם (אפשר להראות ע"י פיתוח לגרנז' או הפרשים מחולקים וכו'), אני רוצה להראות כאן שיטה שאפשר בעזרת לקבל את המקדמים של הפולינומים כפתרון מערכת משוואות לינאריות

(1 x0 ... x0^d ) (a0) = (f(x0)) (1 x1 ... x1^d ) (a1) = (f(x1)) (.....................) (..) = (f(xi)) (.....................) (..) = . (.....................) (..) = . (1 x(n+1) ... x(n+1)^d) (an+1) = (f(xn+1))​

 

[עריסטו]

שימו לב שאכן המטריצה באגף השמאלי

היא מטריצת Vandermonde, והיא סינגולרית אם"ם שניים מהאיקסים שווים, שהרי רק אז אין פולינום העובר דרך הנקודות.

 

[no problem]

פולינום ממעלה n כמובן.

יש אינסוף פולינומים אחרת.