פאי מרחקי ופאי שטחי

[aetzbar]

המאמר נמצא בפורום זה דף 262

 

[aetzbar]

האם תסכים איתי שאין לנו כלי מתימטי

"המטפל" ישירות בקווים עגולים. האם תסכים איתי שיש אינסוף קווים עגולים וכל אחד מהם ניכר על פי העקמומיות האופיינית לו ואם הסכמת לכך - איך יתכן שכלי מתימטי של קו ישר פשוט, יתאים להביע את שלל הצורות העקומות של הקווים העגולים ? ומהו הרעיון של פאי המשתנה, אם לא ביטוי כמותי מדוייק לעקמומיות המשתנה של הקווים העגולים

 

[eladי]

יש גם יש (בלי עין הרע)

נתחיל מתורת הקבוצות והאלגברה שבעזרתה נבנו הרציונלים והממשיים, וכך גם המישור הדו ממדי. אפשר להתייחס לעקומים במישור כאוספי נקודות. בעזרת אלגברה אפשר להגדיר עקומים אלגבריים (מעגלים, אליפסות, היפרבולות ופרבולות), כפתרונות של משוואות אלגבריות. בעזרת חשבון אינפיניטיסימלי ניתן לעשות אנליזה של העקומים, להגדיר רציפות וגזירות וחלקות. בעזרת תורת המידה אפשר להגדיר מידות (ולעשות אינטגרלים), ובעזרת גאומטריה דיפ' אפשר ללמוד על הקישקעס של העקומים והצגותיהם. אז אני חושב שיש מספיק כלים לטפל ישירות בקווים מעגליים. כן, יש אינספור קווים עגולים, ואני תוהה כיצד אתה מגדיר עקמומיות ? האם הזזה וסיבוב של עקום מעגלי ישנו את עקמומיותו ? וכיצד העובדה שלמעגלים ברדיוסים שונים יש עקמומיות שונה - מראה (ולו ברמז) כי פי משתנה ?

 

[aetzbar]

אני מתייחס רק למשפט הבא:

אפשר להתייחס לעקומים במישור כאל אוספי נקודות. התיחסות כזו מבטלת כל מושג של קו עגול או עקום, והופכת אותו לאוסף של קטעי קוים ישרים זעירים. על האוסף הזה אפשר להפעיל את הכלי המתימטי המשתקף בקווים ישרים, אבל בכך כלל לא טיפלנו בקו עגול או עקום. להפעלה כזו יש טעם אם צורת הקו העגול או העקום קרובה לצורת ישר. זה קורה לדוגמה במעגל שקוטרו 20 ק"מ , שקטע זעיר ממנו קרוב מאוד בצורתו לצורת קו ישר. מכאן המסקנה שחישוב פאי הקלסי מתאים רק למעגלים גדולים. ולעניין הקשר בין עקמומיות המעגל וערך פאי שלו - האם אתה רואה קשר אחר ?

 

[eladי]

לא קטעים זעירים - אוסף של נקודות.

נקודות. נ-ק-ו-ד-ו-ת. זוגות סדורים של מספרים ממשיים (מכיר את הממשיים ?) שיוצרים את המישור (R^2 - נא להכיר). אוסף של קווים קטנקטנים הוא אוסף של קוים קטנטנים. נקודה איננה קו. ממש לא. אל תעליב את המרחב בממד 0. אגב, התוצאה שלך נשמרת אם אנחנו עוברים מסנטימטר לאינצ' ? עקמומיות אצלי קשורה במעגל המשיק לעקום בנקודה נתונה (ההפוך של רדיוס מעגל זה). זה הקשר שאני רואה - לא קשור לפי.

 

[eladי]

לא ברורה לי התכלית בהפרדה

בין "פאי שטחי" ל"פאי מרחקי" - הרי פאי הוא יחס; מספר טהור. פאי הוא יחס בין המון סוגים של ממדים וגדלים (לא רק בגאומטריה)... גם המשפט האחרון לא ממש ברור לי

(האם אתה מתכוון שלרדיוסים קטנים היחס 87% יספיק בעוד שברדיוסים גדולים נעדיף 87.5% ? כמו בכל מאמר טוב - כדאי להתחיל ב... רעיון, מוטיבציה, בעיה, הגדרות פתרון ומסקנות. אחרת, קשה לעקוב. ישר כוח !

 

[aetzbar]

ברור לי שהעליתי רעיון חריג

ובלתי מקובל. המאמר "מבט חדש על מעגלים" דף ארכיון 262 , מהווה הכנה מקדימה לרעיון חריג זה. ולעניין ההפרדה שהצבעת עליה , פאי מרחקי ופאי שטחי הם שני יחסים מציאותיים, שבמקרה אחד ויחיד אותו מספר יתאים לשניהם. המקרה הזה הוא מעגל השואף לקוטר אינסופי, והמספר הוא 3.1415927 בקירוב. פרט למקרה זה שני היחסים האלה משתנים במגמות הפוכות, ובתחום צר. את השינויים האלה, לגבי פאי שטחי, ניתן לגלות בדרך של מדידה פיסיקלית מדויקת.

 

[eladי]

במציאות אין מעגלים מושלמים

ואין פרבולות מדוייקות - אז מה ? ברור לך שיש סטיה ממה שאתה מחשב על הנייר ומה שתקבל במציאות. איפה הקושי בעצם ?....

 

[DarkCrystal]

מר א. עצבר היקר!

שלום! יש לי שאלה שנובעת מהמאמר שכתבת... היית שמח אם תוכל לעזור לי. אני כבר הרבה זמן משוכנע ש

e^(i * π) = -1​

או בעברית: אי בחזקת איי פי = מינוס אחת. עכשיו, הייתי שמח לדעת באיזה π מדובר? בπ של מעגלים קטנים או π של מעגלים גדולים? והאם זה π משטחי או π קווי? וידוע לי גם ששטח אליפסה בעלת צירים a וb הוא abπ, איזה π זה כאן? של מעגלים קטנים? גדולים? משטחי? קווי? כפול? מסלולי? תודה רבה!!!

 

[aetzbar]

חוש הומור רצוי ומבורך תמיד

 

[eladי]

ידידי היקר - אל תכעס ../images/Emo140.gif

ואין מה להעלב

. מה ש DarkCrystal מנסה להגיד (בדרכו הצינית) שלפי יש תפקידים חשובים במתמטיקה שלא כולם בעלי זיקה ישירה למשמעותו הגאומטרית. למשל זהות exp(2*pi*i)=-1 היא ללא ספק נוסחה המכילה בתוכה ארבעה מהמספרים החשובים ביותר במתמטיקה: פי, i, -1 ו- e. אם בשלב זה נגיע למסקנה כי פי לא סגור על עצמו (מבחינת הערך שלו), זה יבוא בסתירה להרבה תוצאות אחרות (בעלות ביסוס מושלם). היפוטתית כמובן שאפשרי שכולם טעו, אבל קח בחשבון ש... יש מצב שצודקים. אני מעריך מאד את ההתעניינות שלך בפי. בסופו של דבר תמצא את התשובות לשאלות שאתה מחפש... מכל מקום, אל תהסס לשאול, אבל היה פתוח לשמוע רעיונות חדשים ושונים.

 

[DarkCrystal]

יש לי שאלה

אם אני אשאל אותך מה היחס בין אלכסון בריבוע לצלע שלו, מה תאמר לי?

 

[aetzbar]

היחס הוא שורש 2

והוא יופיע בכל ריבוע, מהזעיר ביותר שניתן להעלות על הדעת, ועד לענק ביותר. יחס זה קבוע בכל הריבועים היות וכל הריבועים דומים דמיון מושלם זה לזה. שורש 2 הוא היחס האופייני הנובע מכל הריבועים. מי שרואה דמיון מושלם בין מעגלים יטען בצדק ליחס אופייני אחד ויחיד לכולם, והוא הפאי הקלסי. ואולם, מי שיטען שמעגלים אינם דומים דמיון מושלם זה לזה , יטען על יחס משתנה. השינוי הוא בתחום צר היות והדמיון בין מעגלים הוא רב מאוד, אך בהחלט אינו מושלם.

 

[eladי]

אין "ענק ביותר", ואין "זעיר ביותר".

וכמו שאתה מרשה מספר מוזר כמו שורש 2, כך גם לפי יש זכות קיום. מעגלים, ריבועים, סמיילים - תכונות דמיון בגאומטריה אויקלידית עובדות בהרבה צורות.

 

[aetzbar]

תודה על שיח מדעי חופשי ומעניין

 

[DarkCrystal]

רק אציין

שאם תמדוד במציאות את היחס בין אורך האלכסון של ריבוע לצלע, אתה תוכל לקבל ערכים בתחום 1 עד 1.7, ואז תוכל לטעון גם ששורש 2 הוא מספר שתלוי בריבוע. וכל זאת בגלל שאמצעי המדידה שלך לא מדויקים, וגם הריבועים שתמדוד הם לא בהכרח ריבועים (הצלעות הם קווים עקומים שבקירוב רב נראים כמו ישרים).