בבקשה
הבינום של ניוטון עונה על שאלה פשוטה
(a+b)^n איך לפתוח לעזאזל את הדבר הזה? כי ידועות הנוסחאות (a+-b)^2=a^2+-2ab+b^2 (a+-b)^3=a^3+-3a^2b+3ab^2+-b^3 אלה למעשה מקרים פרטיים של הבינום של ניוטון יש הכללה של הבינום של ניוטון הנקרא, מולטינום שזה למעשה לפתוח (a1+...+ak)^n עם הכללות מסויימות של נוסחאת הבינום בקיצור (a+b)^n=sigma(nCi)*a^n-i*b^i כאשר הסכום sigma רץ מאיי שווה אפס עד אן... ו nCi זה n מעל i נקרא גם המקדם הבינומי והנוסחא שלו היא nCi=n!/(i!(n-i)!) הוכחות לזה? דרך אחת אפשרית היא אינדוקציה... דרך שנייה היא דרך יותר קומבינטורית, ואותה אני אציג (a+b)^n זוהי מכפלה של (a+b) n פעמים לכן כאשר נפתח את הסוגריים נקבל סכום של מכפלות כל מכפלה מכילה n גורמים כל גורם הוא x או y ולכן הם מהצורה x^n-i*y^i נשים לב שהמקדם הבינומי nCi הוא בעצם מספר האפשרויות לבחור i עצמים מתוך קבוצה בגודל n בלי חזרות ובלי חשיבות לסדר וזהו בדיוק כי אנחנו רוצים לבחור בדיוק i yים ככה שכל השאר יהיו איקסים... וכך קיבלנו איבר אחד בפיתוח (כלומר מכפלת איקס וואי כפול מקדם) וכך אפשר לעשות לכל הגורמים בסכום המכפלות, וכך נקבל את המשפט כולו ד"א לבינום ניוטון קשור משולש פסקל משולש פסקל הוא מהצורה 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 וכו' כלומר בצדדים זה אחד, וכל השאר הוא סכום של 2 המספרים שמעליו כלומר כל שורה בו מתארת את המקדמים nCi בבינום של ניוטון שורה ראשונה זה (A+b)^0=1 (a+b)^1=1*a+1*b וכך אפשר להמשיך ולראות למשל אם אני צריך להעלות בחזקות גבוהות סתם לצורך חישוב (לא להוכחה, שם בד"כ ההוכחה היא כללית עבור אן ואז יש להשתמש למשל בבינום אם רוצים לפתוח, אבל למשל סתם עבור חישוב) אז לפעמים אפשר בכמה שניות לצייר את משולש פסקל ולראות מה המקדמים המתאימים (אם לא בראש שלך לחשב עצרות, ובכל מקרה מספיק לחשב רק חצי, הרי הבינום יוצא סימטרי) במוד 2 גם מקבלים מעין צורה פרקטלית יפה אבל זה עניין אחר
