הוכחה יפה למשפט פיתגורס שהגעתי אליה

[DarkCrystal]

כמה הערות אחרונות

בהודעה הקודמת הפונקציה באינטגרנד צריכה להיות מתחת לשורש ריבועי. הערה נוספת היא שאני משתמש למעשה במשפט פיתגורס פה כמה פעמים: פעם ראשונה כדי להגיד שהנקודות נמצאות על מעגל היחידה. פעם שנייה באופן סמוי בנוסחה לאורך קשת: הנוסחה הזאת מתקבלת ע"י סכימת אורכי קטעים אינפיניטיסמליים שאורכם מתקבל מנוסחת המרחק בין שתי נקודות במישור, שהיא כמובן מתקבלת ממשפט פיתגורס.

 

[עריסטו]

הפתרון הפשוט ביותר הוא לקבוע...

...שמשפט פיתגורס הוא אקסיומה

https://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtml (ואז אקסיומת המקבילים היא משפט)

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

הוכחת משפט פיתגורס

שהציע דְיוֹרְד פּוֹיָה (ג'ורג' פוליה). למה לבנות על הניצבים ועל היתר דווקא ריבועים? אפשר לבנות עליהם שלוש צורות דומות כלשהן! נוריד מקודקוד הזווית הישרה אנך אל היתר, וקיבלנו שלושה משולשים דומים!

 

[aetzbarr]

מה הטעם בהוכחה שכזו, הרי מפסידים את החשבון הריבו"זי

 

[DarkCrystal]

איך באמת נסתדר בלי החשבון הריבו"זי?

 

[aetzbarr]

המספרפר תמיד יציל את המצב

 

[aetzbarr]

במקום הגדרות פונקציות נגזרות ושאר ירקות, יש לשאול

איזה מידע מכיל משולש ישר זווית? והתשובה פשוטה אורך היתר ג , גדול מאורך ניצב א אורך היתר ג , גדול מאורך ניצב ב למתמטיקה אין מה לעשות עם משולש ישר זווית, מכיוון שהמידע הזה לא מאפשר להגיע אל משוואת השטחים. א.עצבר

 

[aetzbarr]

ועכשיו אפשר להמציא את הגיאומטריה מחדש

 

[shahars10]

משהו לא ברור לי...

הגדרת את y=sinx , אבל בסופו של דבר אתה אומר ש y'=cosx, וההוכחה שהנגזרת של sinx היא cosx מתבססת על נוסחת סינוס הסכום של שתי זויות, אלא אם הגדרת גם ש y'=cosx ולא ברור לי למה הגדרה כזאת מותרת.

 

[DarkCrystal]

אני מגדיר

את sinx בתור הפתרון של המד"ר y''=-y עם תנאי ההתחלה y(0) = 0 y'(0) = 1 ואני מגדיר את cosx בתור הפתרון של המד"ר y''=-y עם תנאי ההתחלה y(0) = 1 y'(0) = 0 נשים לב שהנגזרת של sinx מקיימת את המד"ר עם תנאי ההתחלה של cosx, ולכן ממשפט יחידות של מד"ר, מתקיים שהנגזרת של sinx היא cosx. אבל אני לא מעוניין להתבסס על משפט הקיום והיחידות ממד"ר. כדי להמנע מזה, אפשר להצביע על פתרונות ספציפיים כנ"ל: אפשר להגדיר את sinx וcosx בתור פיתוחי הטיילור שלהם. ואז באותה דרך שהראתי בהודעה למעלה, אפשר להראות שכל פתרון למשוואה y'' = -y הוא צירוף לינארי של sinx וcosx. היתרון של זה, הוא שההגדרה הגיאומטרית של פונקציות טריגונומטריות היא לא טריוואלית. קודם כל היא משתמשת בהגדרה של אורך קשת. צריך את זה בשביל ההוכחה של הגבול של sinx/x, אם מגדירים את הפונקציות הטריגונומטריות בצורה גיאומטרית. הנה לינק לפוסט בבלוג של גדי על זה והנה לינק לערך בויקיפדיה על זה. אמנם ההוכחה בויקיפדיה של הגבול שלמה, אבל אם אנחנו מגדירים פורמלית אורך קשת, יש להוכיח גם שלכל מספר ממשי בין 0 ל2π יש קשת באורך נתון. אפילו להוכיח את זה למספר רציונלי כפול 2π זה לא מיידי: זה דורש את הקיום של שורשי היחידה שדורשת קצת אלגברה (למשל קל להראות שלz^n-1 יש n שורשים שונים, אבל למה קיים שורש שהסדר שלו הוא בדיוק n? בשביל זה צריך ללמוד את התורה של פולינומים ציקלוטומיים). אם מגדירים את sinx וcosx בתור למשל טורי חזקות, הפונקציות האלה מוגדרות לכל x, ואפשר להוכיח את הזהויות מהתיכון (למשל כמו שעשיתי בהודעה הקודמת). אפשר גם להוכיח מההגדרות כי הנגזרת של sinx היא cosx וכי הנגזרת של cosx היא מינוס sinx. מה שקשה להוכיח זה שקיים מספר חיובי בו קוסינוס מתאפסת. אחרי זה, אפשר להראות שההגדרות האלה של sinx וcosx מסכימות עם אלה מהתיכון (הסברתי את זה בהודעה השנייה שלי קודם). לקריאה נוספת:

• How to define trigonometric functions analytically and elementary
• What are some rigorous definitions for sine and cosine?

 

[aetzbarr]

הגבול של סינוס X חלקי X שואף ל 1 , רק בתנאי מסוים

 

[aetzbarr]

החשבון של ניוטון ולייבניץ עומד למבחן

 

[DarkCrystal]

אני מבקש שתפסיק להגיב להודעות שלי

עבר הרבה מאוד זמן מאז שהתחלת לכתוב בתפוז (אזור 2004). מאז הספיקו אינספור תלמידים ללמוד קורס בסגנון אינפי 1 או חדו"א 1. כיום יש אפילו יותר מקורות, והחומר נמצא ברשת ובחינם, הן בצורת קורס וידאו בYouTube, בצורת רשימות, ספרים ועוד. אני עצמי עזרתי לתלמידים לעבור את הקורס הזה ואף תרגלתי אותו מספר פעמים. אתה בחוצפתך לא מצאת לעצמך 3 חודשים להשקיע בללמוד את הבסיס של הבסיס של המתמטיקה. אין לך צורך בכך מאחר ויש לך ידיעה טבעית. כולם טועים ורק אתה צודק. מותר לך לחשוב מה שתרצה ואני לא יכול להכריח אותך לעשות כלום, אבל אם אתה מעוניין אפילו לדבר באותה שפה שאנשים אחרים מדברים, אתה צריך לעשות את הקורס הזה. ולשבור את הראש על תרגילי בית והגדרות. זה לא קל, אבל כמעט כולם עושים את זה, אפילו אנשים שלא עושים תואר במתמטיקה. שים לב שבהודעה שלי צרפתי קישורים חיצוניים לקריאה נוספת ונתתי תשובה די מפורטת. אתה פוטר את עצמך מכך מכיוון שיש לך ידיעה טבעית, ולכן אתה לא צריך להתייחס לעבודות קודמות. גם מותר לך להעלות "מאמר" שכתוב בצורה קלוקלת בתור קובץ word, במקום ללמוד לכתוב מאמר בצורה מכובדת כמו שנהוג בקהילה המתמטית. אציין שיש מתמטיקאים עם דעות לא קונסרבטיביות, כמו Norman Wildberger. ההבדל הוא שבניגוד אליך, הם בעלי הכשרה מתמטית, ומכבדים את הקהילה. Wildberger הוא דוקטור למתמטיקה וכותב בצורה שמכבדת את עמיתיו. אני מבקש שתפסיק להגיב להודעות שלי, עד שלא תעשה קורס בחדו"א.

 

[aetzbarr]

מה כל כך חשוב לך חדו"א ? הרי זה אינו הבסיס של המתמטיקה

הבסיס של המתמטיקה (שם עברי ראוי הוא כמתנות) הוא המצאת המספרים.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

היה לך הסכם מפורש עם מנהל הפורום,

לא להתערב בדיונים מתמטיים, אלא לכתוב את קשקושיך, כמה שאתה רוצה - רק בשרשורים נפרדים. אתה מנצל את העובדה שהמנהל איננו, ומתנהג כמו פרחח, שמשתולל ומפריע כשהמורה חולה.

 

[aetzbarr]

תן למשתתפי הפורום להחליט בעצמם, הכל מתנהל ברוח טובה

נסה לשפר את הניסוח של תגובותיך, יהיה יותר נעים לכולם. א.עצבר

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

אנחנו, משתתפי הפורום, החלטנו מזמן שיהיה הרבה יותר נעים בלי

נוכחות המשוגע עצבר. אתה כמו מישהו שנדחף לפורום "אוכל ובישול" ומוכיח שם לכולם שהאוכל האמיתי זה לא מה שהמציאה האנושות במשך אלפי שנים, אלא חול עם אבנים, וכל מי שלא מסכים אתך הוא אידיוט. אדרבא! שאר משתתפי הפורום מוזמנים לחלוק על דבריי.

 

[aetzbarr]

ספק אם תצליח להתעלות מעל עצמך, ולהתנצל על הביטוי משוגע

אני מצפה ממשתתפי הפורום שיביעו סלידה מצורת הביטוי שלך, ומהניסוחים המעליבים.שאתה משתמש בהם. א.עצבר

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

ברור שלא "אצליח", כי אפילו לא אנסה.

גם אני "מצפה" שמישהו יחלוק על דבריי ביחס אליך. בוא נצַפה ביחד. ועוד יש לך חוצפה לדבר על "ניסוחים מעליבים"!!!

 

[עריסטו]

https://www.youtube.com/watch?v=14njUwJUg1I