הוכחה יפה למשפט פיתגורס שהגעתי אליה

[shahars10]

הוכחה יפה למשפט פיתגורס שהגעתי אליה

כמובן שיתכן שרבים הגיעו להוכחה הזאת לפניי.

 

[aetzbarr]

אי אפשר לנסח את משפט פיתגורס עם מספרי אורך צלעות, אלא רק עם

מספרי שטח של ריבועים, הבנויים על הצלעות. א.עצבר

 

[shahars10]

לא הבנתי את הכוונה שלך

 

[aetzbarr]

משפט פיתגורס הוא משוואת שטחים מושלמת

סכום שטחי הריבועים הבנויים על ניצבי המשולש, (שווה בדיוק) לשטח הריבוע הבנוי על יתר המשולש. את השוויון המושלם הזה אפשר להציג רק עם מספרי אורך מסוימים של צלעות המשולש, כמו ניצב 3 , ניצב 4 , ויתר 5 א.עצבר

 

[shahars10]

ברור שיש רק ערכים מסוימים של אורכי צלעות שיקיימו את המשוואה

והם לא חייבים להיות שלמים, אבל עדיין לא ברור הקשר בין זה לבין ההוכחה שהראיתי

 

[aetzbarr]

הקשר הוא פשוט, אי אפשר להגיע בדרך מתמטית,

מציור של משולש ישר זווית, אל משוואת השטחים של פיתגורס.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

אם טרם הבנת,

המשתמש atezbar הוא מוקיון מוכר, שאין לו שום קשר למתימטיקה

אבל גם חוש ההומור שלו לא משהו. משתמשים חדשים, שאינם מכירים אותו, מנסים להתייחס לקשקושיו ברצינות, ואפילו מנסים "להוכיח לו" שהוא טועה. לפני איזה 10 שנים גם אני, בתור משתמש חדש, ניסיתי, והאחרים, המנוסים, גיחכו.

 

[aetzbarr]

תן לו להחליט, הוא אדם חופשי בעל שיפוט וידיעה טבעית, תן כבוד

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

אל דאגה

כל אדם שפוי יחליט בעצמו (אחרי שיבזבז כמה דקות) שמדובר בטרול טרחן וגס רוח שנדחף להפריע לדיונים בתחום שאין לו בו שמץ של מושג.

 

[עריסטו]

אבל אז צריך למצוא את הנגזרות של סינוס וקוסינוס

בלי להסתמך על כך ש- sin^2(x)+cos^2(x)=constant. ההוכחה הרגילה מסתמכת על זה, למשל כאן: https://www.khanacademy.org/math/ap...-7/a/proving-the-derivatives-of-sinx-and-cosx

 

[shahars10]

קודם כל, ההוכחות בלינק שצירפת מאד יפות

למדתי כמה דברים חדשים, אז תודה. שנית, החישוב של נגזרת הסינוס מתבצע כאן ע"י הנוסחה של סינוס סכום זויות. ניתן אבל לחשב את הנגזרת הזאת גם ע"י הנוסחה לסכום (או הפרש) סינוסים. כלומר: sin(x+dx)-sinx = 2sin(dx/2)cos(x+dx/2) , ואז נראה לי שניתן להגיע לתוצאה בלי שימוש במשפט פיתגורס, אלא אם הוא מתחבא טוב איפהשהו... אשמח להערות/תובנות תודה !

 

[עריסטו]

את הנוסחה לסכום סינוסים...

...מוכיחים מתוך הנוסחה של סינוס סכום: [URL]https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_trigonometric_identities#Proof_of_sine_identitiesURL];

 

[shahars10]

אני יודע, אבל

אין כאן שימוש במשפט פיתגורס, לפחות לפי מה שאני רואה, אלא אם את הנוסחה לסינוס/קוסינוס של סכום זויות מוכיחים על סמך משפט פיתגורס

 

[shahars10]

ניתן להוכיח את הנוסחאות לסכום זויות בלי משפט פיתגורס

אני מצרף כאן הוכחה עבור זויות ששתיהן חדות והסכום שלהן הוא גם זוית חדה. לא מכיר הוכחה כללית לכל סוגי הזוויות

 

[עריסטו]

אם כך ייתכן שההוכחה שלך נכונה

 

[shahars10]

ייתכן

 

[עריסטו]

או שכן, או שלא, מה שבטוח – אולי, וגם זה מוטל בספק

 

[DarkCrystal]

אפשר להגדיר sinx באמצעות מד"ר ע"י שימוש בטכניקה הזאת

נניח אנחנו מגדירים את sinx בתור הפונקציה היחידה שמקיימת y(0) = 0 y'(0) = 1 y'' = -y אנחנו רוצים להראות שsinx מקיימת את נוסחת סכום הזוויות מהתיכון. בהנתן פונקציה y(x) zz גזירה פעמיים כלשהי (לא בהכרח פתרון של המד"ר מלמעלה), נסמן g(x) = y'(x) + i y(x) כאשר i^2 = -1. אז y'' = -y אם ורק g'(x) = i * g(x) zz. נבחר y כמו למעלה (עם אותם תנאי התחלה) ונבחר a קבוע ונסתכל על הפונקציה הבאה g(x+a) * g(-x) נגזור אותה: (g(x+a) * g(-x))' = g'(x+a) * g(-x) - g(x+a)*g'(-x) = i g(x+a) g(-x) - g(x+a) * i g(-x) = 0 לכן נקבל כי g(x+a)*g(-x) zz היא פונקציה קבועה. אם נבחר x=0, נקבל g(a) * g(-0) = g(a) * 1 = g(a) ולכן קיבלנו g(x+a) * g(-x) = g(a) בפרט ע"י הצבת a=0 נקבל g(x) * g(-x) = g(0) = 1 לכן נקבל בסה"כ g(x+a) = g(x) * g(a) ע"י השוואת החלקים הממשיים והחלקים המדומים שני האגפים, נקבל את הנוסחאות מהתיכון (כאשר בסימונים שלנו y' = cosx, y = sinx). הערה: לא צריך לדעת אנליזה מרוכבת בשביל התגובה הזאת: לפונקציה מהממשיים למרוכבים f(t) = x(t) + iy(t) כאשר x(t), y(t) zz פונקציות ממשיות גזירות, נגדיר באופן פורמלי f'(t) = x'(t) + iy'(t) אז אפשר להראות כי מתקיים כלל לייבניץ וכי מתקיים כי אם f'(t) = 0 אז f קבועה. זה נובע מהמשפטים במקרה הממשי ומההגדרה הפורמלית.

 

[עריסטו]

אבל כדי להוכיח באמצעות זה את משפט פיתגורס

צריך להראות שהפונקציה sin שהגדרת כפתרון של משוואה היא אותה פונקציה sin שמוגדרת על ידי משולש ישר זווית. לא כך?

 

[DarkCrystal]

נכון, יש מה להראות

ברגע שהגדרנו את הפונקציות האלה, אפשר להראות שהן מסכימות עם ההגדרות מהתיכון. צריך את הגרסה של משפט פיתגורס שהראתי קודם שנובעת מהנוסחה g(a) * g(-a) = 1. כדי להוכיח את זה, נסתכל על העקומה עם הפרמטריזציה (cos t, sin t) כאשר sint=y(t) zz וcost=y'(t) zz מההודעה הקודמת. זאת פרמטריזציה של מעגל. אורך הקשת של העקומה מ0 עד a נתון ע"י \int_0^a( ((cost)')^2 + ((sint)')^2 )dt = \int_0^a( (-sint)^2 + (cost)^2 )dt = \int_0^a 1 dt = a אז לקשת באורך a במעגל יש קואורדינטות (cosa, sina). חסר עוד פרט שלא הראתי והוא לא טריוואלי: צריך להסביר למה קיים מספר בשם π/2 שמוגדר להיות המספר הממשי החיובי הקטן ביותר עם cos(π/2) = 0. אחרת לא ברור שמה שהגדרנו כאן הוא פרמטריזציה של כל המעגל ולא רק חלק ממנו.