חידונת קלילה

[אוזו רוזו קוקורוזו]

חידונת קלילה

יהי n מספר טבעי כלשהו בעל 5 ספרות או יותר, שחמש ספרותיו האחרונות (הימניות) הן 20180.
יהי (S(d סכום כל מחלקיו שספרתם האחרונה (הימנית) היא d.
הוכיחו: (S(5) > S(1) + S(2) + S(3.

 

[עריסטו]

נסיון

אם a הוא מחלק שספרתו האחרונה היא 3 אז הוא תורם את המחלקים a, 4a לאגף הימני של האי-שוויון ואת המחלק 5a לאגף השמאלי, כלומר תרומה שווה לשני האגפים.
אם b הוא מחלק שספרתו האחרונה היא 1 אז הוא תורם את המחלקים b, 2b לאגף הימני של האי-שוויון ואת המחלק 5b לאגף השמאלי, כלומר תרומה גדולה יותר לאגף השמאלי. וכמובן יש לפחות מחלק אחד שספרתו האחרונה היא 1.
כמו כן כל מחלק k שמסתיים בספרה 2 הוא מהצורה 4a עבור a שמסתיים ב-3 או מהצורה 2b עבור b שמסתיים ב-1. זאת משום ש-k אינו מתחלק ב-8. כלומר בשתי הפסקאות הראשונות הבאנו בחשבון כל מחלק שמסתיים ב-2.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

 

[עריסטו]

עוד חידת מחלקים

נסמן ב-f את מכפלת המחלקים הטבעיים של n, למשל
f(10)=1*2*5*10=100
האם קיימים שני מספרים טבעיים שונים m ו-n כך ש-f(m)=f?

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

נראה לי

שזה בלתי אפשרי. זה מתקבל מהשוואת מעריכי החזקות של המחלקים הראשוניים. יוצא שיש ביניהם אותה פרופורציה בשני המספרים, שזה אומר שאחד מהם הוא חזקה רציונלית של השני. אבל אני מנחש שאתה מתכוון להוכחה אלגנטית יותר.

 

[עריסטו]

דווקא התכוונתי להוכחה הזו

 

[הפרבולה]

מה הכוונה "יש ביניהם אותה פרופורציה בשני המספרים"?

האם הכוונה ש
n / m = f / f(m)

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

הכוונה היא ש-

:אם
f = f(m)
n = П ( p ^ a )
m = П ( q[j] ^ b[j] )

:אז
{p[1], p[2], . . .} = {q[1], q[2], . . .}
a[1] : b[1] = a[2] : b[2] = . . .
ואם יחס זה שונה מ-1, אז אחד משני המספרים n ו-m מתחלק לשני ושונה ממנו, ואז יש לו אותם מחלקים כמו לקטן יותר, וגם מחלקים נוספים, ולכן ה-f שלהם לא יכולים להיות שווים.

בהתחלה מצאתי את הנוסחה לביטוי (f(n, ממנה נבעה הפרופורציה, וגם ש-f מונוטונית לפי יחס זה.
אבל אח"כ ראיתי שהכל הרבה יותר פשוט!

הרי אם n אינו ריבוע שלם, אז כל המחלקים שלו "מסתדרים בזוגות" שמכפלתם n, ולכן f שווה n בחזקה שלמה.
אם n ריבוע שלם, אז f שווה ל-n בחזקת "שלם וחצי".
בכל מקרה, f שווה ל-n בחזקת מספר רציונלי.
לכן, אם (f=f(m, אז m שווה ל-n בחזקה רציונלית, ולהיפך.
מכאן אפשר להמשיך בלי שום נוסחאות.

 

[הפרבולה]

נראה לי שהבנתי

השוויון הראשון ברור
{p[1], p[2], . . .} = {q[1], q[2], . . .}
הגורמים הראשוניים של n m חיבים להיות זהים כדי ש ה f שלהם יהיה שווה
כדי להבין את השוויון השני שכתבת על היחס בין המעריכים
a[1] : b[1] = a[2] : b[2] = . . .
פיתחתי מפורשות את הנוסחה ל f(n ויצא לי
אם
n = П ( p ^ a )
אז
f = П ( p ^ k )
כאשר
k= r * a/2
r= П (a+1)
אגב r זה מספר המחלקים של n

ואז כדי שיתקיים שוויון צריך להתקיים היחס בין המעריכים המקוריים של n ( כלומר a[i ) שציינתה.