חידה

[הפרבולה]

חידה

על מישור יש אינסוף נקודות כך שהמרחק בין כל זוג נקודות הוא מספר שלם.
יש להוכיח שכל הנקודות נמצאות על קו ישר.

נידמה לי שפעם שאלו חידה כזאת ( עם עצים ויער ... ) לא זוכר את הפתרון.

 

[עריסטו]

חידת המשך

יש להוכיח שלכל n טבעי קיימת קבוצה של n נקודות במישור כך שהמרחק בין כל זוג נקודות הוא מספר שלם, ואין שלוש נקודות על קו ישר.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

נראה לי שאפשר לבנות

קבוצה של נקודות כאלה על מעגל.
נניח שמחוברים זה לזה מיתרים שווים, כמו צלעות של מצולע משוכלל החסום במעגל.
נבטא אורך של מיתר אחד באמצעות רדיוס וסינוס זווית.
אפשר לבחור סינוס זווית "זעירה כמה שאנחנו רוצים" כך, שגם הסינוס שלה וגם הקוסינוס יהיו רציונליים.
למשל ככה:
sin(α) = 2x / (x²+1)
cos(α) = (x²-1) / (x²+1)
ואז רציונליים יהיו גם
sin(2α), sin(3α), sin(4α), . . .

וכן הלאה, ואורכי כל המיתרים יהיו שלמים - אם ניקח רדיוס מתאים, משהו כמו:
(x² + 1)^n

 

[עריסטו]

 

[הפרבולה]

אפשר ככה

נגדיר n מספרים מרוכבים כך
Zk = 5^(n-1)* (3/5 + i*4/5) ^ (2*k) k=0,1,2,....n-1

כל המספרים נמצאים על מעגל ברדיוס 5 בחזקת n-1 במישור המרוכב, ואין 2 נקודות חופפות .
כעת צריך להראות שהמרחק בין כל 2 נקודות הוא מספר שלם ....

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

איך אנחנו יודעים

שאין שתי נקודות חופפות?

 

[הפרבולה]

הזוית a של המספר z המרוכב 3/5 +i*4/5 הוא מספר אירציונלי

במעלות ( נראה לי שאת זה צריך גם להוכיח.... )
נניח בשלילה שיש לנו 2 נקודות חופפות כלומר z^n=z^m ו n שונה מ m נקבל ( p שלם)
n*a -m*a = p*360
a= p*360/(n-m)
בסתירה לכך ש a אירציונלי

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

לזה התכוונתי -

איך אנחנו יודעים ש- arcsin(4/5)/π אי-רציונלי?

גם חשבתי בכיוון הזה, אבל לא ידעתי איך להוכיח שכל הנקודות שונות, שהיחס הנ"ל אי-רציונלי.
לכן הלכתי על זווית "כמה שאנחנו רוצים זעירה", כך שכל n הנקודות יהיו על אותו חצי מעגל, ונהיה בטוחים שהן שונות, וקל לחשב את המרחקים השלמים ביניהן.

 

[הפרבולה]

הסבר אחר למה אין נקודות חופפות

נסמן arcsin(4/5) = a
z = 3/5 +i*4/5 = cos(a) +i*sin(a)
z^n = (3/5 +i*4/5)^n = cos(n*a) +i*sin(n*a)
החלק המדומה של z^n הוא (sin(n*a והוא מספר רציונלי שהמכנה של השבר המצומצם המייצג אותו שווה ל 5 בחזקת n , מזה נובע ש z^n לא שווה z^m עבור כל m ,n שלמים שונים ( כי לפחות החלק המדומה שונה כי יש לו מכנה שונה ביצוג כשבר מצומצם)
זה גם מוכיח ש arcsin(4/5)/π אי-רציונלי.

עריכה:
צריך להראות גם שהמונה של השבר המיצג את החלק המדומה לא מתאפס עבור כל n ... צריך לפתח את החזקה של zzz (3/5 +i*4/5)^n zzz לפי בינום של ניוטון ...
מחר בבוקר

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

כל אלה טענות שקולות

הוכיחו שלא קיים מספר טבעי n, עבורו מתקיים: 3+4i)^n=5^n).

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

דרך אגב,

איך אנחנו יודעים שהמכנה הוא 5 בחזקת n אחרי צמצום? הרי זה גם אומר, שהמונה אינו מתחלק ב-5, ולכן אינו שווה 0.
או לפחות ההוכחה (לכך שהמכנה שוה 5 בחזקת n אחרי צמצום) יכולה לעזור להוכיח שהמונה אינו מתאפס.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

יש! הוכחה פשוטה ביותר

בביטוי 3+4i)^n) נבדוק את החלק הממשי ואת החלק המדומה במודולו 5 !!!

 

[הפרבולה]

לא הבנתי איך אתה מוכיח , הרי הביטוי הזה יכול להיות

ארוך מאד ( בתלות ב n ) אחרי שמחשבים אותו לפי הבינום של ניוטון
למשל עבור n=5
(3+4i)^5 = 3^5 -10*(3^3)*(4^2) +5*3*(4^4) +
( 5*(3^4)*4 - 10* (3^2) * (4^3) + 4^5 )i

איך מוכיחים שלא קיים n שלם שהחלק המדומה ( או הממשי ) מתאפסים .

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

פשוט מאוד!

לא צריך בינום. תכפיל אותם אחד אחד: בחזקת 1, בחזקת 2, בחזקת 3 וכו' - וקח הן את החלק הממשי והן את החלק המדומה במודולו 5. זה לא יכול להיות מספרים גדולים

זה גם מוכיח שה-5 במכנה לא מצטמצמים

 

[הפרבולה]

אתה מתכוון ככה

נעלה בריבוע את הביטוי
(3+4i)^2 = 9+24i -16 = -7 +24i
כעת נעשה מודולו 5 לממשי ולמדומה ונקבל
-7 => 3
24 => 4
=> 3+4i
איזה מזל, קיבלנו חזרה את הביטוי המקורי , ולכן אם נעלה אותו גם בחזקה שלמה כלשהיא נקבל את אותו ביטוי ( אחרי מודולו 5 ) וזה מוכיח את הטענה.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

אכן כן

אבל זה לא עניין של "מזל".
קח למשל להיפך: 4+3i)^n)
רק אחרי כמה צעדים נחזור למצב של חזקת 1.
כנ"ל, אם ניקח שלשה פיתגוראית אחרת. במודלו של אורך היתר יש כמות מוגבלת של אפשרויות, ולכן החל מאיזשהו מקום הכרחית חזרה, ואפשר פשוט לבדוק את כל האפשרויות עד שהן יחזרו על עצמן.
איך זה באופן כללי - אינני יודע. במקרה שאורך היתר הנו מספר ראשוני p, למשל 5 או 13, נראה לי שיש משהו כמו המשפט הקטן של פרמה: עבור z^p נקבל במודולו p את הערך של z^1 הן בחלק הממשי והן בחלק המדומה.
אבל לא ידוע לי קריטריון, באלו מקרים אחד מערכי הביניים של הסינוס או הקוסינוס יכולים להתאפס (כמו במקרה של 45°).

 

[עריסטו]

גיגלתי rational angle rational cosine

ומצאתי את זה:
[URL]https://en.wikipedia.org/wiki/Niven%27s_theorem[/URL]
לפי זה אפשר לקחת כל שלשה פיתגורית ונקבל אינסוף נקודות שונות על המעגל.

 

[עריסטו]

הכללה של הפתרונות שלכם

אצלכם המרחק בין כל נקודה לנקודה הבאה קבוע, אבל זה לא הכרחי. אם ניקח שתי נקודות על מעגל היחידה
A: (cos(2x), sin(2x))
B: (cos(2y), sin(2y))
כך ש - sin(x), cos(x), sin, cos רציונליים, אז המרחק בין הנקודות הוא
2|sin(x-y)|
כלומר רציונלי. כך אפשר למצוא n נקודות על מעגל היחידה עם מרחקים רציונליים ביניהן, ועל ידי הגדלה מקבלים מרחקים שלמים.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

נחמד

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

דרך פתרון

נניח שנתונות שתי נקודות A ו-B שהמרחק ביניהן מספר שלם m.
אם המרחקים של נקודה C הן מנקודה A והן מנקודה B גם הם מספרים שלמים, זה אומר שהנקודה C נמצאת או על הישר המחבר את A עם B. או על הישר המאונך לישר זה ועובר בדיוק באמצע בעיניהן, או על אחת ההיפרבולות:

|CA| - |CB| = ± 1
|CA| - |CB| = ± 2
|CA| - |CB| = ± 3
. . .
|CA| - |CB| = ± (m - 1)
נקרא לאיחוד m+1 הצורות האלו "שועל".
אם יש בקבוצה שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, אז כל הקבוצה נמצאת על חיתוך של שני "שועלים" (לא מקבילים!), שהוא סופי.