עזרה בלסגור הוכחה

[aaaaa139]

עזרה בלסגור הוכחה

יש לי מרחב מדיד X ו miu מידה שלמה עליו.
f,g:X->R שתיי פונקציות שעבורן f(x)=g(x) עבור כמעט כל x in X.
סעיף ראשון זה להראות ש f היא miu-מדידה אם"ם g היא miu מדידה.
סעיף שני זה להראות שf היא miu - אינטגרבילית אם"ם g היא miu-אינטגרבילית.

הסעיך הראשון הסתדרתי איתו.
הסעיף השני אני מנסה לפתור כך:
מניח שf אינטרגבילית.
כמו כן מתקיים: zz Sf = Sf + Sf zz כשהאינטגרל השמאלי מחושב על המרחב X, הראשון מימין מחושב על E והשני מימין מחושב על E משלים.
כשE זו קבוצת האיקסים שעבורם f שונה מg. זו קבוצה ממידה אפס ולכן האינטגרל בצד ימין של השיוויון שמחושב על E הוא אפס כי זה אינטגרל על קבוצה ממידה אפס(וכל קבוצה ממידה אפס היא מדידה ולכן ניתן לעשות עליה אינטגרל) וכל אינטגרל על קבוצה ממידה אפס הוא 0.
סה"כ האינטגרל של f על המרחב X שווה לאינטגרל של f על E משלים.
אבל f=g על E משלים.
לכן האינטגרל של f על המרחב X שווה לאינטגרל של g על E משלים.
f אינטגרבילית כלומר האינטגרל של f על המרחב X זה מספר סופי.
לכן גם האינטגרל של g על המרחב X הוא מספר סופי כי הוא שווה לאינטגרל של g על E ועוד האינטגרל של g על E משלים.


נאמר לי שההוכחה הזו לא טובה כי אין הנחה שg אי שלילית.
לא ברור לי למה ההוכחה שכתבתי כאן לא נכונה. ואם זה קשור לכך שg אי שלילית, איפה בהוכחה שלי אני מסתמך בכלל על כך שg אי שלילית?

תודה

 

[aaaaa139]

דרך אחרת שאולי יכולה לסייע בלסיים את ההוכחה. מה דעתכם?

אני מנסה להוכיח עבור מקרה פרטי של פונקציות פשוטות.
אם f,g הן פונקציות פשוטות כלשהן (לא מניח שהן חיוביות או שליליות..פשוט 2 פונקציות פשוטות כלשהן שאני לא מניח לגביהן כלום).
אז יש חלוקה X = UF_i כשi = 1,...,n .
הקבוצות F_i מדידות.
ומתקיים ש-f = a1I_F1+a2I_F2+...+anI_Fn.
כש I_F1 למשל, פירושו אינדיקטור על הקבוצה F1. כמו כן, הaiים אלו סקלרים.
בדומה גם לg יש צירוף לינארי כזה רק עם מקדמים bi כלשהם.
הaiים והbiים הם סקלרים ממשיים כלשהם.

הייתי רוצה להגיד עכשיו שהאינטגרל של f על X שווה לאינטגרל של g על X ומאחר ואני מניח שf אינטגרבילית, אז גם g אינטגרבילית.
אני די בטוחשאפשר להגיד את זה, אבל איך אני מסביר את זה פורמלית?