תורת המידה..משהו אלמנטרי

[aaaaa139]

תורת המידה..משהו אלמנטרי

אם יש לי סדרה של פונקציות fn = 1/n עבור x בין n-1 לn, ו0 אחרת
למה האינטגרל על כל אחד מהfn ים שווה ל1 חלקי n? (מה שגורר שהגבול של סדרת האינטגרל Sfn שואף ל0).

האינטגרל אמור להיות מוגדר על כל R.
אם כן, אני יכול אולי להגיד שהאינטגרל של fn שווה לאינטגרל של fn כפול האינדיקטור על האיקסים בין n-1 לn?
במידה וזה נכון, האם אני יכול להגיע מזה לכך שהאינטגרל שווה ל 1 חלקי n?

 

[אורי769]

הבהרה

נתונה לך פונקציה (f(x המוגדרת
f(x) = 1/13 לכל x בקטע (12,13)
f(x) = 0 עבור כל x אחר
האם אתה שואל למה
integral of f(x)dx = 1/13

 

[aaaaa139]

תשובה

כן.
כאילו..אם אני עושה ניוטון לייבניץ..כלומר מחשב קדומה ועושה תהפרש בקדומה מחושבת בגבול העליון פחות הקדומה מחושבת בגבול התחתון אז זה יוצא 1 חלקי 13
כי האינטגרל של 1/13 הוא x/13 ואז אם עושים ניוטון לייבניץ אז:
13/13-12/13 = 1/13
אבל כאן אני מדבר על לבג ..נראה לי שהלבג הזה לא באמת מחזיר פונקציה קדומה.
ניסיתי בהודעה המקורית שלי לענות על השאלה ששאלתי שם אבל אני לא בטוח אם מה שכתבתי נכון.

 

[אורי769]

תשובה

ראשית, ניוטון-לייבניץ זה משפט, לא הגדרה. ההגדרה הקלאסית לאינטגרל זה ההגדרה לפי רימן. ההגדרה של לבג מרחיבה אותה. כלומר, היא חלה על מבחר רב יותר של פונקציות. אבל נותנת את אותו האינטגרל.

אבל כל זה לא קשור לדיון. כאן הסיפור הרבה יותר פשוט.... מה זה אינטגרל? באופן אינטואיטיבי - אינטגרל של פונקציה זה השטח מתחת לגרף הפונקציה. אפשר גם לראות זאת בהגדרות השונות. אינטגרל רימן מחשב את השטח ע"י קירוב שלו לסכום של שטחי מלבנים. אבל כאן השטח מתחת לגרף הוא פשוט מלבן. אז מה השטח שלו?

 

[aaaaa139]

יצא 1 חלקי n

כן מהבחינה הזו זו מובן.
רציתי לנסות לראות אם אני מבין איך אני מגיע לזה דרך השימוש בהגדרה שאינטגרל על R של אינדיקטור של קבוצה (חייבת להיות מדידה נראה לי) הוא המידה של הקבוצה.
ואז רציתי להשתמש בזה ע"י זה שאגיד שמאחר וfn = 1/n בין n-1 לn ואפס בכל מקום אחר,אז zz S (1/n) *I_[n-1,n] = (1/n)SI_[n-1,n] = (1/n) m([n-1,n])] zz
והביטוי האחרון בצד ימין שווה ל1 חלקי n. אבל אני לא בטוח שזה נכון המעברים שלי והדרך הזו.
זה נראה לך נכון?