מה יש יותר...

[basenew]

מה יש יותר...

מה יש יותר - פונקציות אלמנטריות או פונקציות לא-אלמנטריות?

איך מוכיחים את התשובה?

 

[עעעערררר]

פונקציות לא אלמנטריות

הדרכה: יש א0 פונקציות אלמנטריות.

 

[הפרבולה]

למה יש א0 פונקציות אלמנטריות?

א0 זה עוצמת הטבעיים.
נסתכל על קבוצת הפונקצית מהצורה
f(x) = k*x
כאשר k הוא מספר ממשי, זה כבר נותן קבוצה מעוצמת הממשיים ולא הטבעיים.

 

[אורי769]

נכון

אם מדברים על פונקציות אלמנטריות מעל R, אז אפשר להוכיח שעוצמת קבוצת הפונקציות היא כעוצמת הממשיים עצמם. כלומר א0^2
לעומת זאת פונקציות כלשהן, אלמנטריות או לא, יש א0^2^2.

 

[עעעערררר]

צודק

משום מה חשבתי שכל פונקציה אלמנטרית ניתנת לקידוד, ושכחתי שאפשר להכניס קבועים ממשיים...

 

[עריסטו]

פונקציה שכזו

מיצאו פונקציה f מ-R ל-R שמקבלת בכל קטע כל מספר ממשי. כלומר לכל קטע (a,b) ולכל מספר ממשי y קיים a<x<b כך ש- f(x)=y.

 

[אורי769]

נסיון

אני לא ממש אבנה את הפונקציה אך אוכיח את קיומה.
נסתכל על סדרות בינאריות an. אפשר להגדיר יחס שקילות על הסדרות באופן הבא - שתי סדרות שקולות אם הן שונות במספר סופי של כניסות. קבוצת המנה היא מעוצמת הרצף. לכן אפשר להצמיד לכל איבר במנה ערך ב-R.
ניקח מספר ממשי x, נסתכל על הפיתוח הבינארי שלו ונתאים לו כך איבר ב-R.

 

[עריסטו]

הפתרון הזה משתמש באקסיומת הבחירה?

 

[אורי769]

צריך לשאול את האקסיומה...

האמת שאני לא תמיד חד בלזהות מתי טענה נעזרת באקסיומת הבחירה ומתי לא. ייתכן שאני מתבסס על טענות אחרות שדורשות את אקסיומת הבחירה.
למה?

 

[עריסטו]

כי לפעמים מעדיפים פתרונות שלא משתמשים באקסיומה הזו

 

[aaa123]

מצאתי

הפונקציה שלי היא הפונקציה הבאה שאגדיר לכל מספר שיש בו מספר סופי של ספרות 8 בייצוג העשרוני שלו ומספר סופי של ספרות של 9 בייצוג העשרוני שלו ומספר סופי של ספרות 7 בייצוג העשרוני שלו(לצורך הדיון שבר עשרוני סופי שניתן לכתוב ב2 דרכים כותבים בלי 9).

יהי x מספר ממשי כלשהו עם מספר סופי של ספרות שהם 7 או 8 או 9
בודקים אם קיימת אחרי הספרה האחרונה של 8 בייצוג העשרוני הספרה 9 ואם כן f(x)=y מתחיל במינוס ואחרת מתחיל בפלוס.

אחר כך בודקים כמה ספרות של 7 מופיעות בייצוג העשרוני של המספר אחרי הספרה האחרונה של 8 ,וזה בדיוק הערך השלם שלפני הנקודה.
אחר כך מסתכלים על כל שאר הספרות של המספר אחרי כל הספרות 7 8 9 שמופיעות מספר סופי של פעמים ,ומתרגמים למספר בבסיס 7 ואלו הספרות שאחרי הנקודה אם כותבים את המספר y בבסיס 7.

את הפונקציה אפשר להגדיר כרצוני בכל שאר הנקודות וקל לראות שלכל מספר ממשי y
קיים a<x<b כך שf(x)=y כי קודם כל אני יכול לבחור מספר a<q<b עם ייצוג עשרוני סופי שספרתו האחרונה היא 8 בבסיס 10 וגם אם נגדיל אותה ל9 עדיין יתקיים a<q<b
וq הוא התחלת הייצוג העשרוני של x.
אחר כך הספרה הבאה תהיה 9 אם y שלילי.
אחר כך הספרות הבאות של x יהיו 7 ומספרן בהתאם לערך של y לפני הנקודה,ואחר כך הספרות הבאות של x תהיינה הספרות של y אחרי הנקודה לפי סדרן כשאני כותב את y בבסיס 7 אחרי הנקודה.

 

[עריסטו]

אפשר לפשט קצת

נכתוב את הייצוג העשרוני של x (אם יש שני ייצוגים נבחר את זה שמסתיים באינסוף אפסים).
אם ממקום מסויים והלאה הייצוג הוא מהצורה
7abcd...9pqrs...
כאשר כל האותיות הן ספרות בין 0 ל-6, אז f(x)=abcd...(.)pqrs... בבסיס 7, כאשר הנקודה בסוגריים מפרידה בין החלק השלם לשבר.
אם ממקום מסויים והלאה הייצוג הוא מהצורה

8abcd...9pqrs...​

כאשר כל האותיות הן ספרות בין 0 ל-6, אז f(x)=-abcd...(.)pqrs... בבסיס 7, כאשר הנקודה בסוגריים מפרידה בין החלק השלם לשבר.
עבור ערכים אחרים של x נבחר כרצוננו, למשל f(x)=137.

 

[אורי769]

נחמד!

 

[אורי769]

הערה נוספת

באופן אינטואיטיבי, אנו נוטים לחשוב על מושג הרציפות כקיום תכונת ערך הביניים. לדוגמא, תנועה היא דבר רציף כי אם יצאתי מת"א ב-10 והגעתי לחיפה ב-11 אז בכל מקום מדרך יש זמן בין 10 ל-11 שעברתי בו.

הפונקציה הזו, היא דוגמא לעד כמה רציפות ותכונת ערך הביניים רחוקות זו מזו. מדובר בפונקציה שמקיימת את תכונת ערך הביניים בכל קטע אבל מצד שני כל נקודה היא אי-רציפות עיקרית.