משולשיים-עצרתיים

[אוזו רוזו קוקורוזו]

משולשיים-עצרתיים

כמה פתרונות יש למשוואה במספרים טבעיים:
1 + . . . + n = 1 * . . . * m
n(n+1)/2 = m!
יש השערה, שהפתרונות היחידים הם:
n=m=1
n=m=3
n=15, m=5
(אם נחשיב גם את 0 למספר טבעי, אז אפשר להוסיף גם את הפתרון n=1, m=0)
יש השערה, שפתרונות נוספים אינם קיימים.
יש השערה, שזו בעייה פתוחה.
מי יודע?

 

[עריסטו]

הנה כמה מקורות

[URL]https://math.stackexchange.com/questions/40945/triangular-factorials[/URL]
[URL]https://math.stackexchange.com/questions/1925613/integer-equation-m-fracnn12?noredirect=1&lq=1[/URL]
[URL]https://math.stackexchange.com/questions/238546/when-is-the-factorial-of-a-number-triangular?noredirect=1&lq=1[/URL]
[URL]https://math.stackexchange.com/questions/975736/find-all-positive-integers-n-m-with-n-fracmm-12?noredirect=1&lq=1[/URL]

והנה בעיה דומה עם הכללות
[URL]https://en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_problem#Variants_of_the_problem[/URL]

 

[עריסטו]

תרגיל

האם למשוואה
1! + 2! + ... + n! = m^2
יש מספר אינוסופי של פתרונות במספרים שלמים?

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

פתרון עצלן באמצעות תכנית מחשב

הסכום:
1! + 2! + 3! + . . . + 21!
מתחלק בלי שארית ב-11, ולא מתחלק ב-11².
מכיוון שכל m עצרת החל מ-22 עצרת מתחלקים ב-121, הרי הסכום כולו החל מאיזשהו מקום (למשל, החל מ-21 אברים) מתחלק ב-11 ולא מתחלק ב-11 בריבוע, ולכן אינו ריבוע שלם.

על הקישורים.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

שתי הערות

הערה ראשונה
הסכום
1! + 2! + . . . + m!
החל מ- m=4 מושווה ל-3 מודולו 5, ולכן אינו יכול להיות ריבוע שלם.

הערה שנייה
נחזור לרגע לפתרון הקודם, המסובך. התכנית חיפשה מספרים ראשוניים p, עבורם הסכום:
1! + 2! + . . . + (2p-1)!
מתחלק ב-p אך לא מתחלק ב-p², מה שאומר שהחל ממקום זה (לפחות) הסכום אינו יכול להיות ריבוע שלם.
התכנית מצאה מספר ראשוני מתאים: 11.
הסתקרנתי, כמה מספרים נוספים בעלי תכונה זו היא תצליח למצוא, והיא... לא מצאה יותר שום דבר. אמנם חיפשתי רק עד 100000.

שאלה: האם 11 הוא המספר הראשוני היחיד בעל תכונה זו?
האם גם זו בעייה פתוחה?

 

[עריסטו]

לא יודע, אבל הנה בעיה דומה קצת

https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson_prime

נראה לי שאפשר לשער שיש אינסוף מספרים בעלי התכונה של 11 אבל הם נדירים. הסיבה היא שאם נניח שלמספר יש הסתברות של 1 חלקי n להתחלק ב-n, אז אם p=101 למשל, יש הסתברות של 1/101 בערך ש-p יקיים את התכונה שגילית. לכן תוחלת מספר המספרים שמקיימים את התכונה היא 1/2+1/3+1/5+... וידוע שהסכום הזה מתבדר.
הסכום 1/2+1/3+1/5+... עד 1 חלקי n הוא בערך loglogn+c עבור קבוע c. לכן אפשר לשער שמספר המספרים הראשוניים בין x ל-y שמקיימים את התכונה שכתבת הוא בערך loglogy+c-(loglogx+c) כלומר log(logy/logx), כמו ההשערה לגבי ראשוניי וילסון, והמספר ה-n-י שמקיים את התכונה הוא משהו כמו exp(exp).
הנה עוד השערה דומה קצת:
[URL]https://en.wikipedia.org/wiki/Wieferich_prime[/URL]
ותרגיל:
לפי שיקול דומה למה שכתבתי אפשר לשער שיש אינסוף מספרים טבעיים n כך ש-
zzz 2^n-1 מתחלק ב-n. הוכח שזה לא נכון ולמעשה zzz 2^n-1 מתחלק ב-n רק עבור n=1.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

בבעייה השנייה קצת נגעתי בעקיפין בנסיבות משונות

עברתי קורס קצר בתורת המספרים באוניברסיטת וילנה בברה"מ. היה במקצוע זה ספר לימוד דקיק ברוסית מאת חבר האקדמיה וינוגרָדוב (שהיה אנטישמי ידוע). היה שם תרגיל כזה: האם

2^1093 - 1

מתחלק ב-1093² ?
ניסיתי לנתח את התרגיל, להבין מה מיוחד במספר 1093, וכשלא מצאתי, שאלתי את המרצה, שהיה בחור ליטאי צעיר שזה לא כבר סיים התמחות באוניברסיטת מוסקבה.

הוא הביט בתרגיל בתשומת לב ואמר לי: החומר שעברתם אמור להספיק לכם על מנת לפתור את התרגיל הזה!
אח"כ הקבוצה שלנו ברחה מההרצאה - כזזה מעשה קונדס אינפנטילי, והמרצה לא אהב את "ההלצה", ערך בוחן והכשיל את כ-ו-ל-נ-ו. ברגע מסוים הוא פנה אליי וביקש שאזכיר לו, מה היה התרגיל ששאלתי אותו, והוא יתן אותו למישהו. אמרתי לו ששכחתי. זה היה בשנת 1969

מאוחר יותר, כשהיתה לי גישה חופשית למחשב, אכן חיפשתי מספרים דומים.

אציע בינתיים תרגיל נוסף: מהם כל פתרונות המשוואה:

n! = m²

במספרים טבעיים?

 

[עריסטו]

פתרון

m=1
n=0,1
אם n>1 אז יש גורם ראשוני שמופיע בפירוק של n! לגורמים רק פעם אחת:
[URL]https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%A9%D7%A2%D7%A8%D7%AA_%D7%91%D7%A8%D7%98%D7%A8%D7%90%D7%9F[/URL]

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

|v|

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

בקשר לשאלה

אם 2 בחזקת n שלם גדול מ-1, פחות 1, יכול להתחלק ב-n, נראית לי דרך די מסובכת להוכיח שלא.
הטענה (שלא מתחלק) נכונה לכל n זוגי.
קל להראות שהיא נכונה גם לכל n ראשוני.

יהי p אחד המחלקים של המספר המורכב האי-זוגי n.
נציג לשם הפשטות את המספר

2^n - 1

בשיטת הספירבה הבינרית כרצף של n יחידות.
האם מספר זה מתחלק לפחות ב-p?

רצף של p-1 יחידות מתחלק ב-p.
נעיף מקסימום רצפים כאלה, עד שלבסוף יישארו k יחידות בלבד: השארית מחילוק n ב- p-1.
k - אי זוגי קטן מ- p-1.
על מנת שרצף k היחידות יתחלק ב-p, המספר k חייב להיות מחלק של p-1.

קיימים מספרים ראשוניים אי זוגיים p, שעבורם אכן קיים כזה אי זוגי k גדול מ-1 וקטן מ- p-1, המחלק את p-1, ו-2 בחזקת k מושווה ל-1 מודולו p.
למשל, p=7 הוא מספר "כזה" (עבורו: k=3).
בכל מספר "כזה", k כמובן מחלק את n.

אם n מתחלק לפחות במספר ראשוני אי זוגי אחד p שאינו "כזה", אז רצף n היחידות אינו מתחלק אפילו ב-p, וסיימנו.

עכשיו הקטע המסובך: המקרה שכל המחלקים הראשוניים של n הם "כאלה".
יהי p המחלק הראשוני הקטן ביותר של n.
אבל k "שלו" קטן ממנו ומחלק את n.
סתירה.

יש הוכחה פשוטה יותר?

 

[עריסטו]

מצאתי פתרון פה

[URL]http://www.qbyte.org/puzzles/p083s.html[/URL]
אבל אני לא בטוח שהוא פשוט יותר.

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

זה אותו הכיוון, אבל יותר פשוט ויותר מסודר.

סתם הסתבכתי עם מספר פשוט "כזה"!
אם פשוט הייתי הולך על המחלק הראשוני (הבלתי זוגי) p הקטן ביותר, כמו בהוכחה שהצגת, אז ה-"k שלו" היה משלים את ההוכחה מיידית: אם הוא לא קיים, אז רצף n היחידות הבינריות לא מתחלק אפילו ב-p, ואם הוא קיים, אז p הוא לא הגורם הראשוני הקטן ביותר של n.

תרגיל נחמד.
אגב, ניסיתי לחפש אותו בגוגל ולא הצלחתי

 

[עריסטו]

עוד בעיות פתוחות עם עצרת

האם יש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה n!+1 ?
האם יש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה n!-1 ?
למשוואה zzz a!b!=c! zzz יש פתרונות טריוויאליים:
c!=a!, b!=1 zzz
c!=b!, a!=1 zzz
c=a!, b=c-1 zzz
c=b!, a=c-1 zzz
ועוד פתרון לא טריוויאלי:
zzz 6!7!=10! zzz
האם יש עוד פתרונות לא טריוויאליים?