שאלה בהסתברות (נראה לי יש טעות בספר, לא בטוח).

[AnarchistPhilosopher]

שאלה בהסתברות (נראה לי יש טעות בספר, לא בטוח).

בכד יש 9 כדורים. 4 כדורים אדומים, 3 כדורים ירוקים ו-2 כדורים לבנים.
מוציאים מהכד את כל תשעת הכדורים בזה אחר זה באופן מקרי. חשב את הסתברות המאורע הבא: הכדור השני הוא אדום.

עכשיו התשובה בספר היא הבאה:
מרחב המדגם כאן מתאר מיהו הכדור השני ולכן יש בו 9 אפשרויות.
מספר הכדורים האדומים הוא 4 ולכן ההסתברות היא 4/9.

עכשיו מה שאני חשבתי שהשאלה הזו תלויה גם בכדור הראשון.
אם הכדור הראשון הוא אדום אז נשארנו עם 8 כדורים מתוכם לבחור עבור הכדור השני ו-3 אדומים, כלומר 3/8.
האפשרות השנייה היא שהכדור הראשון הוא לא אדום, ולכן עבור הכדור השני נשארנו עם 8 כדורים ובוחרים מתוך 4 אדומים, כלומר 4/8.
ולכן יוצא שההסתברות היא 4/8+3/8=7/8.

זה ספר יחסית ישן, אבל גם אני ישן...

אז מי צודק?

 

[אורי769]

הספר צודק

ראשית, אתה יכול די מהר לחשוד בתשובה שלך בכך ש-7/8 זה כמעט 1. כלומר, לשיטתך כמעט בטוח שהכדור השני יצא אדום בעוד שבפועל יש יותר כדורים לא אדומים מאדומים.

שנית, הטעות שלך נעוצה בכך שאתה מחבר שני מקרים בלי לכפול כל מקרה בהסתברות שלו. מה הסיכוי שהכדור הראשון יהיה אדום? 4/9 מה הסיכוי שהוא לא יהיה אדום? 5/9. לכן התשובה היא
P = 4/9 x 3/8 + 5/9 x 4/8
וזה יוצא 4/9

דרך נוספת להשתכנע בטיעון של הספר היא זו: למעשה אין כאן חשיבות לסדר. בא ננסח את השאלה אחרת - סידרו בשורה את תשעת הכדורים. מה הסיכוי שהשני משמאל הוא אדום? זה בדיוק כמו לשאול מה הסיכוי שהראשון משמאל הוא אדום או הראשון מימין הוא אדום.

 

[AnarchistPhilosopher]

שכחתי לכפול בסיכוי כמו שאמרת.

פשוט לא הבנתי איך הוא שולף את ה-4 תשיעיות בלי להתייחס לכדור הראשון כמו שעשיתי בחלוקה למקרים.
&nbsp
אבל הבנתי את מה שאתה אומר, גם במשפט האחרון.
&nbsp

 

[עריסטו]

הספר

לכל אחד מתשעת הכדורים יש הסתברות 1/9 להיות במקום השני (למה שלכדור אחד תהיה הסתברות גבוהה יותר מכדור אחר)? לכן ההסתברות שהכדור השני יהיה אדום היא 1/9+1/9+1/9+1/9.