איך הייתם מוכיחים את הטענה הטריויאלית הבאה?

[AnarchistPhilosopher]

איך הייתם מוכיחים את הטענה הטריויאלית הבאה?

איחוד של שתי קבוצות בעלות עוצמה סופית הוא בעל עוצמה סופית.

ללא הנוסחא הבאה: |AUB|=|A|+|B|-|A/\B|

A/\B is the intersection of both sets.
חשבתי אולי לטעון שאם העוצמה של האיחוד היה אינסופי אז בהכרח היו איברים באיחוד שלא שייכים לקבוצות A ו-B וזה בלתי אפשרי.

 

[עריסטו]

באדיבות גוגל

[URL]https://proofwiki.org/wiki/Union_of_Finite_Sets_is_Finite[/URL]

 

[AnarchistPhilosopher]

חשוב אולי לציין ושכחתי, שאיחוד אינסופי של קבוצות סופיות

יהיה אינסופי אלא אם כל הקבוצות ריקות.

שמתי לב להוכחות של finite union of finite sets and union of two finite sets.
עריכה: האיחוד יהיה אינסופי אם הקבוצות לא מתלכדות באיזושהי נקודה.

איך מוכיחים את זה? גם זה נמצא בוויקיפידיה?

 

[עריסטו]

מה זה קבוצות מתלכדות?

אם הכוונה היא שיש איבר ששייך לכל הקבוצות אז הטענה לא נכונה - למשל הקבוצות הבאות
A={}
B={1}
C={1}
D={1}
...
לא מתלכדות בשום נקודה אבל האיחוד שלהן לא אינסופי.

 

[AnarchistPhilosopher]

במתלכדות הכוונה אותה קבוצה.

אז השאלה שלי מהם התנאים שתחתם איחוד אינסופי של קבוצות סופיות ייצא קבוצה אינסופית?
&nbsp
למשל: A1={1},A2={1,2},....,An={1,2,3,...,n},...
האיחוד האינסופי של הקבוצות הסופיות הללו הוא קבוצת המספרים הטבעיים שהיא אינסופית.
&nbsp
זו כבר לא שאלה טריויאלית, לפחות לטעמי.
&nbsp

 

[עריסטו]

אני לא יודע איזה תנאי יכול להיות

האיחוד הוא אינסופי אם... הוא אינסופי

לא נראה לי שיש איזשהו תנאי פשוט יותר ששקול לאינסופיות.

 

[אורי769]

נסיון

הנה טענה:
תהיה {An} סדרה של קבוצות סופיות. אז UAn הוא סופי אם ורק אם קיים N שלכל n>N קיים k<=N כך ש-An=Ak.

ויש להודות שזה לא עמוק במיוחד

 

[AnarchistPhilosopher]

אני לא מבין את העוקצנות של שניכם.

כל טענה מתמטית שנובעת מהאקסיומות היא טריויאלית לפי הגדרה.
&nbsp
רק טענות מתמטיות שקריות יכולות להיות לא טריויאליות...
&nbsp

 

[אורי769]

אתה צודק

לא היתה כאן מטרה לעקוץ, ואם כך שזה הובן אני מתנצל.

ואמירה שזה לא עמוק מתייחסת לכך שהאפיון שנתתי, ההוכחה שלו די פשוטה. הוא בסה"כ אומר - אם האיחוד הוא סופי, אז החל ממקום מסויים איברים יתחילו לחזור על עצמם.
בסופו של דבר, בכל הנושא של קארדינלים ואורדינלים, הקבוצות הסופיות זה לא המוקד.