ניסיון התחלתי להוכחת הטענה הבאה..

[aaaaa139]

ניסיון התחלתי להוכחת הטענה הבאה..

E קבוצת כל המספרים הממשיים בקטע [0,1] אשר בפיתוח העשרוני שלהם הספרה "1" מופיעה רק במספר סופי של מקומות.
צריך להוכיח ש-E קבוצה מדידה לבג ולחשב את מידת לבג של E.


1)
קודם כל סתם שאלה של כלל אצבע..האם סביר שכשמבקשים ממני להוכיח ולחשב מידה של קבוצה, אז יהיה מדובר במידה אפס בדרך כלל?

2)
ועכשיו תכלס לשאלה עצמה.
אם אני מסתכל על קבוצות En שמוגדרות להיות ה-xים בקטע [0,1] כך שהספרה 1 לא מופיעה ממקום n ואילך.
כלומר E50 למשל זה כל האיקסים בקטע בין 0 ל1 שבפיתוח העשרוני שלהם, ב50 הספרות הראשונות מימין לנקודה יכולים להופיע 1ים, והחל מהספרה ה51 לא יהיו 1ים.
נראה לי גם שE1CE2CE3C...
אבל לא יודע אם הפרט הזה חשוב כ"כ.
מקווה שהוא נכון ושאני לא מתבלבל.

כעת, האם נכון לומר המידה של En היא 0 לכל n?
אם כן, אז המידה של האיחוד היא גם 0. אבל האמת היא שאינטואיטיבית לא ברור לי למה המידה של הקבוצה הזו היא אפס..של הEnים ובפרט של E.
הרי אם אני מסתכל למשל על E50, יש לי מלא מספרים (כן..אני מודע לזה שאני מדבר בצורה מאדלא פורמלית עכשיו אבל אני בשלב שאני מנסה להבין תאינטואיציה אז מותר לי) בקבוצה הזו.
זה שאני מאפשר 1ים רק ב50 ספרות הראשונות מימין לנקודה, זה לא אומר שמספר האיברים בE50 הוא כל הקומבינציות של 1ים ב50 ספרות הראשונות...כי על כל קומבינציה כזו יש המון מספרים שונים שאפשר להרכיב מזה שאשחק עם הספרות שהם לא 1.

קיצור..אינטואיטיבית אני לא רואה למה זה נכון..אולי בכלל המידה היא לא אפס (ואז מה שכתבתי בשאלה הראשונה זה לא כלל אצבע נכון בכלל).
אשמח לעזרה עם האינטואיציה כאן ואח"כ אם באמת המידה אמורה לצאת כאן 0, אז איך אני מתקדם בהוכחה.

המון תודה

 

[אורי769]

הדרכה

האמת שאני לא מומחה בתורת מידה, אבל הנה איך שאני הייתי ניגש לזה:

קודם כל אינטואיציה - למה E באמת ממידה אפס? בא תחשוב על זה במונחים של הסתברות. מה ההסתברות שמספר מקרי שנבחר יהיו בו מספר סופי של 1-ים? ההסתברות היא 0 - כי זה מקרה ממש לא סביר. המקרה הסביר הוא שכל ספרה מופיע אינסוף פעמים. כדי להשתכנע יותר (וזה גם יסייע בהוכחה בהמשך) בא נשאל - מה המידה של E0 לפי הגדרתך. כלומר המידה של המספרים שלא כוללים בכלל ספרה 1. בא נגריל מספר כזה. מה הסיכוי שהספרה הראשונה לא תהיה 1? זה 9/10. מה הסיכוי ששתי הספרות הראשונות לא יהיו 1? זה q (9/10)^2. וש-k הספרות הראשונות? זה q (9/10)^k. וזה שואף ל-0.

עכשיו את האינטואיציה הזו אפשר לתרגם להוכחה מסודרת שמראה ש-E0 היא ממידה 0. למעשה E0 נבנית דומה מאד לקבוצת קנטור. מחלקים את הקטע [0,1] לעשרה חלקים מסלקים את השני. בשלב הבא, עושים את אותו הדבר עבור כל אחד מתשעת הנותרים וכן הלאה. אפשר לראות שבאיטרציה ה-k יש לנו קבוצה ממידה q (9/10)^k. בגבול נשאר עם קבוצה ממידה 0.

מה נשאר לעשות:
- לכתוב את ההוכחה הזו באופן פורמלי.
- להבין למה אותו הטיעון תופס ל-En עבור n כלשהו.
- E היא אכן איחוד בן-מניה של קבוצות ממידה 0 ולכן ממידה אפס.

 

[aaaaa139]

המשך

1.
אוקיי האמת שהרעיון שלך נראה לי מובן ותודה על ההסבר.
אני רושם 2 שלבים מהתהליך שתיארת בשביל לראות שהבנתי נכון.
איטרציה ראשונה (k=1) כאמור מורידים את הקטע zz [0.1,0.2) zz כלומר הורדנו קטע באורך 1/10 שמכיל את כל המספרים בין 0 ל-1 שהספרה הראשונה שלהם מימין לנקודה היא 1.

איטרציה שנייה (k=2) אני מחלק את כ"א מ-9 הקטעים
zz [0,0.1), [0.2,0.3], [0.3,0.4],...,[0.9,1] zz
ל-10 חלקים שווים, ומוריד מכ"א מהם את החלק השני.
כלומר אוריד את zz [0.01,0.02) , [0.21,0.22),...., [0.91,0.92) zz
כלומר סה"כ באיטרציה השנייה הורדנו מכ"א מ-9 הקטעים, קטע בגודל 1/100.
כלומר סה"כ הורדנו אורך של 9/100.
ובשלב זה הורדנו את כל המספרים בין 0 ל1 שהספרה השנייה שלהם מימין לנקודה היא 1.
בשלב הבא k=3, אני חוזר על התהליך, אבל כמה קטעים יש לי?בשלב הראשון היה קטע יחידה שחולק ל10 והורדתי ממנו את הקטע השני. נותרו 2 קטעים : מאפס עד 0.1 ומ0.2 עד 1. או 9 קטעים : כל הקטעים באורך עשירית שמהווים חלוקה של קטע היחידה, ללא הקטע (0.1,0.2]?
נראה לי אני מפספס משהו פה..אני מבין תתהליך אבל החלק של מספר הקטעים שיש לי בכל שלב לא ברור לי כ"כ. לא שם לב כמה קטעים יש בשלב k=3.

2)
כתבתי מה גודל הקטעים שהורדנו בכל שלב וזה יוצא שבשלב הראשון הורדנו קטע בגודל 1/10, בשני קטע קודם 9/100...ונראה שבשלישי זה יהיה 81/1000 וכו'.
..כל פעם כופלים ב9/10.
אבל אני רוצה להגיד שהחיתוך של הקבוצות שנותרות לי (כלומר שלא ניפיתי) בכ"א מהאיטרציות, שהוא שווה בעצם לקבוצה E0, מהווה קבוצה ממידה 0? זה אמור להיות ברור למה זו קבוצה ממידה 0?

3) לגבי מה שכתבת שנשאר לעשות.."להבין למה אותו הטיעון תופס לEn עבור n כלשהו..בעצם עבור n כלשהו..למשל n=5..אני רוצה להגיד שהקבוצה של הממשיים בקטע היחידה כך שהחל מהמקום ה6 אין בה 1ים היא ממידה 0.
אז האם אני אמור לחלק את הקטע [0,1] ל 1 חלקי 10 בחזקת 6 חלקים שווים?
ואז אוריד באיטרציה הראשונה את הקטע zz [0.000001,0.000002) zz
ואז אחלק את כ"א מהקטעים ל1 חלקי 10 בחזקת 6 חלקים שווים..וכו'?

לגבי איך לכתוב את זה פורמלי..עבור n כלשהו...לא רואה מיד איך לעשות את זה..אבל אם מה ששאלתיב1-3 יהיה ברור לי נראה לי שזה הבנה ברמה טובה של הפתרון.

 

[aaaaa139]

עריכה של סעיף 2

כתבתי מה גודל הקטעים שהורדנו בכל שלב וזה יוצא שבשלב הראשון הורדנו קטע בגודל 1/10, בשני הורדנו 9 קטעים בגודל 1/100 כ"א. סה"כ הורדנו אורך כולל של 9/100...ונראה שבשלישי זה יהיה 81/1000 ..כלומר 81 קטעים בגודל 1/1000 כ"א.
אבל אני רוצה להגיד שהחיתוך של הקבוצות שנותרות לי (כלומר שלא ניפיתי) בכ"א מהאיטרציות, שהוא שווה בעצם לקבוצה E0, מהווה קבוצה ממידה 0? זה אמור להיות ברור למה זו קבוצה ממידה 0?
הסיבה שזו קבוצה ממידה 0 זה כי זה דומה להתליך בקבוצת קנטור (והוכחנו שהיא ממידה 0)?

 

[אורי769]

תשובות

זה בהחלט כמו הבניה האיטרטיבית של קבוצת קנטור.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set

אפשר בדומה להגדיר את E0 כחיתוך של קבוצות Dn המוגדרות בקובץ המצורף.

לגבי En כלשהו - אפשר לגשת לזה כך: En הוא איחוד של q 10^n קטעים שכל אחד מהם מתאייפין בזה שה-n הספרות הראשונות הן קבועות לכל הנקודות בקטע ואילו שאר הספרות לא מכילות את הספרה 1. כלומר, זה q 10^n עותקים של E0 רק מוקטן פי q 10^n. אפשר ממש להגדיר את En באופן רקורסיבי מ-En-1 בדומה לאיך שהגדרתי את Dn. תחשוב על זה. זו הגדרה שממנה קל יהיה להוכיח ש-En ממידה 0.

 

[aaaaa139]

תודה רבה