ניסיון הוכחה של טענה לגבי פונקציות מדידות

[aaaaa139]

ניסיון הוכחה של טענה לגבי פונקציות מדידות

בתרגול נתנו סוג של אלגוריתם לגבי הוכחת טענות על פונקציות מדידות שלפעמים משתמשים בו..
בשלב הראשון מוכיחים את הטענה עבור פונקצית אינדיקטור.
בשלב השני מוכיחים את הטענה עבור פונקציות פשוטות
ובשלב השלישי מוכיחים לגבול של פונקציות פשוטות.

ויש לי עכשיו טענה שאני רוצה להוכיח בדרך הזו.
הטענה אומר שאם f,g:R->R ו-f פונקציה מדידה לבג, אז קיימת פונקציה g מדידה בורל כך ש f=g כב"מ.
(g מדידה בורל אם לכל alpha מתקיים: zz g^(-1)(-infinity,alpha) in B zz
כאשר B זה סיגמה אלגברה שנוצרת ע"י קבוצות פתוחות.

עכשיו אני מתחיל בלהוכיח את הטענה עבור אינדיקטורים.
תהי I_D פונקציה אינדיקטור מדידה לבג. ז"א D מדידה לבג.
אני צריך למצוא פונקציה אינדיקטור I_A מדידה בורל. כלומר ש- A in B, כך
ש: I_A=I_D כב"מ.
בשיעור הראינו איפיון לקבוצה מדידה לבג:
לכל קבוצה מדידה לבג D קיימות קבוצות G_delta (שזו קבוצה בורל) A
כך שD מוכלת ב-A וגם m(A\D)=0.
לכן אקח את A להיות הקבוצה G_delta שמכילה את D כך ש:
zz m*(A\D)=0zz
בפרט A קבוצה בורל.
כעת, האם אני יכול לומר שI_A=I_D כב"מ? אם כן, הנימוק לזה הוא שזה בגלל ש-A מוכלת ב-D ו-D\A קבוצה ממידה אפס?