משולש ישר זווית - משפטים ומשפטים הפוכים

[GLSRA]

משולש ישר זווית - משפטים ומשפטים הפוכים

בבית הספר מלמדים את שני המשפטים הבאים:
1. במשולש ישר זווית, עם זווית חדה של 30 מעלות, אורך הניתב שמול הזווית שווה למחצית אורכו של היתר. (כמובן שקל מאוד להוכיח את המשפט)
2. משפט הפוך - אם במשולש ישר זווית, אחד הניצבים שווה באורכו למחצית אורך היתר, אז הזווית שמול הניצב היא בת 30 מעלות (גם קל להוכיח, למעשה ההוכחות כמעט זהות).
שאלה:
האם נכון להגיד ש:
אם במשולש (כלשהו) שבו זווית אחת בת 30 מעלות והצלע שמול זווית זו שווה למחצית אורך אחת הצלעות האחרות במשולש, אז המשולש הוא ישר זווית.
לא מצאתי את זה בספרי הלימוד למרות שזה נראה לי נכון.
אשמח לקבל התייחסות, דוגמה נגדית או הוכחה (אפ אפשר ברמת בית ספר - שכבה ט' / י'.
האם יש למי מהקוראים מושג למה זה לא מוזכר בספרי הלימוד.
תודה

 

[אורי769]

כן

בא ניתן להם שמות: נתון משולש ABC. ידוע שזוית ב-A היא 30 וידוע ש-BC היא חצי מ-AC. השאלה היא האם הזוית ב-B בהכרח 90 מעלות.
אז כן - בא נוריד אנך מ-C לקרן AB. האנך הזה יחתוך את AB בנקודה D שאינה בהכרח B. לפי המשפטים שציטטת, DC היא חצי מ-AC. לכן DC = BC. ומזה כבר קל להבין ש-D=B.

 

[GLSRA]

אוי, כמה שאני מטומטם. הוכחה בשלילה, פשוטה להחריד.

תודה רבה.
האם יש לך מושג למה זה לא מופיע כמשפט בפני עצמו ?

 

[אורי769]

מתי טענה היא משפט?

יש הרבה טענות נכונות שהן פשוטות להוכחה או נובעות ישירות מטענות אחרות.

מה שכן, זה נכון שבלימודי הגיאומטריה התיכוניים, אין דגש רב על "טענות הפוכות" דוגמת זה. דוגמא אחרת זה ההפוך למשפט פיתגורס - אם a²+b²=c² אז המשולש הוא ישר זוית.

 

[GLSRA]

הדוגמה שהבאת עם "פיתגורס" היא טובה אבל משום מה המקרה

שהעליתי, הוא קצת שונה כי יש לתלמידים בלבול בין הטענות שכתבתי בתחילת השרשור. כי המלל מאוד דומה, והייתי מצפה שזה יוזכר בצורה או אחרת בספרי הלימוד. בדקתי בכל ספרי הלימוד המאושרים על ידי משרד החינוך, ונדמה לי שלא ראיתי לכך איזכור כלשהו.
בכל אופן תודה לך

 

[רוניבלהבלה9]

אז מה ההבדל ביניהם?

מה ההבדל בין טענה למשפט?
ואם כבר אני שואל, אז מה ההבדל בין lemma לשניים למעלה?!

 

[אורי769]

תכלס... אין הבדל

מבחינה פורמלית, במתמטיקה יש טענות. טענה היא נכונה אם יש לה הוכחה פורמלית ואינה נכונה אם יש דוגמא נגדית. אם אין הוכחה ואין דוגמא נגדית אז הטענה היא בגדר השערה. בהיבט הזה, אין הבדל בין משפט פיטגורס ותרגיל מספר 13 בספר של בני גורן.

המעמד של "משפט", הוא יותר עניין של סדר ויש לו גם הקשרים היסטוריים. לדוגמא, הטענה שזוית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה, היא טענה נכונה אך לא מתייחסים אליה כאל "משפט". זה מקרה פרטי של המשפט האומר שזוית היקפית היא מחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת.
מאידך, משפט פיתגורס גם הוא מקרה פרטי של משפט הקוסינוסים. מדוע הוא זכה למעמד של משפט? התשובה היא קודם כל היסטורית - משפט פיתגורס היה ידוע זמן רב לפני משפט הקוסינוסים. שנית, זה אמנם מקרי פרטי אבל מאד כללי ומשמעותי בפני עצמו. אחרי הכל, משפט פיתגורס הוא המאפשר לנו להגדיר מרחק במישור קרטזי.

אשר ל"לֵמַה" - למה זו טענת עזר. לרוב במאמרים כדי להפוך הוכחה ארוכה לקריאה ומובנת, מפרקים אותה לשלבים והשלבים האלה הן טענות עזר, למות אם תרצה, המשרתות את הוכחת המשפט. לא אחת קורא, שהלמה מתגלה כמשמעותית לא פחות מהמשפט שהוכיחה. לדומגא, הלמה של קנטור.