עזרהעם חבורות ברמה בסיסית בהקשר של קורס אחר

[aaaaa139]

עזרהעם חבורות ברמה בסיסית בהקשר של קורס אחר

אני המון זמן לא התעסקתי בחבורות וזה צץ לי בקורס "גיאומטריה רציפה במישור".

יש טענה שהוכיחו בכיתה אבל אני קצת מסתבך איתה עקב חורים שיש לי בהקשר של חבורות ושאני עסוק בלהשלים אותם כעת.
ארשום את תחילת ההוכחה (הסוף ברור לי) ובאדום כתובות השאלות שלי.


טענה:
אם G תת חבורה סופית של SO(2) אזי G היא Cn (סיבובים בזווית 2pi/n כאשר n in N).
1.
SO(2) ממה שקראתי זה קבוצת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה ששווה ל-1. והקבוצה הזו היא חבורה.
בנוסף מסתבר שהמטריצות הללו הן מטריצות סיבוב ב-R^2. למרות שזה נראה לי מוזר..
כי כל מטריצת סיבוב היא בעלת דטרמיננטה 1, אבל לא ברור לי למה כל מטריצה בעלת דטרמיננטה 1 היא מטריצת סיבוב.
2. למה מטריצות סיבוב בזווית 2pi/n הן איברים ב-SO(2)? בעצם כל מטריצת סיבוב בזווית כלשהי שייכת לחבורה SO(2)?

הוכחה הטענה:
G תת חבורה סופית, ולכן פרט לאיבר היחידה קיים עוד איבר שהוא סיבוב בזווית מינימלית theta0, שנסמנו g0.
3. למה זה נובע מכך שG תת חבורה סופית? יש כאן איזשהו משפט מחבורות שמתבססים עליו?
4. מי זה איבר היחידה של SO(2) ולמה ולמה הוא מהווה מטריצת סיבוב בזווית מינימלית?
החבורה סופית ולכן קיים n כך שg0^n = 1.
5. במעבר האחרון נראה לי שמתבססים על משפט כלשהו. שוב..לצערי למדתי את הדברים האלה לפני הרבה זמן והם קצת נשכחו. אשמח לקבל ניסוח של המשפט שמתבססים עליו, ואקרא בעצמי את ההוכחה שלו על מנת להשלים את החסר.
כלומר n*theta0 = 2*pi*m.
6. למה כשמעלים את g0 בחזקת n , זה שקול לסיבוב בזווית n*theta0?
כמו כן, מה זה הm?

אשמח לעזרתכם ותודה רבה

 

[אורי769]

תשובות

1. אכן לא כל מטריצה בעלת דטרמיננט 1 היא מטריצת סיבוב. אבל מדובר כאן במטריצות אורתוגונליות בלבד. כלומר שכל עמודה היא מנורמה 1.

2. כן. אפשר להוכיח שהמטריצות ב-(SO(2 הן מהצורה
cosα -sinα
sinα cosα
כאשר α היא זוית הסיבוב.


3.
זה לא קשור לזה שזה חבורה, אלא לזה שזו קבוצה סופית. בקבוצה סופית של מספרים תמיד יש איבר מינימום.

4.
איבר היחידה זה המטריצה המתאימה לסיבוב בזוית 0. כלומר
0 1
1 0
שזה מטריצת היחידה. וזה לא אמור להפתיע... הרי בלי קשר לסיבובים, איבר היחידה אמור להיות זה שאם מכפילים בו לא קורה כלום. אכן I*A = A

5.
זה די אלמנטרי. בחבורה סופית - לכל איבר יש סדר. כלומר, לכל x בחבורה קיים n כלשהו כך ש-x^n = 1. למה? נסתכל על x, x^2, x^3, x^4, .... מתישהו בסדרה הזו נקבל איבר שכבר היה בסדרה (כי החבורה סופית). נניח x^13 = x^7. אבל מזה ינבע ש-x^6=1.

6.
נסמן ב-(M(α מטריצת סיבוב בזוית α. אפשר להוכיח ש-(M(α+ß) = M(α)*M(ß
ובפרט מזה אפשר להסיק מהו (M(nα.
כמו כן, אם α = 2πm אז M(α) = I.