משפט בגיאומטריה

[verdor1]

משפט בגיאומטריה

האם יש משפט הפוך למשפט התיכונים?
משהו כמו אם שני קטעים יוצאים מקודקודי המשולש ומחלקים האחד את השני ביחס אחד לשתיים , הקטעים הם תיכונים.
אם אין כזה אשמח לדוגמא נגדית
אם יש אשמח להוכחה
תודה מראש

 

[עריסטו]

הטענה נכונה

בהנחה שהכוונה היא שכל קטע מתחלק ביחס 1:2 כך שהקטע הארוך הוא הקרוב לקדקוד.
אפשר להוכיח למשל כך - אם המשולש הוא ABC והקטעים הם AD ו - BE, נשרטט ישר שעובר בתוך המשולש, מקביל ל-BC והמרחק שלו מ-BC הוא חצי מהמרחק שלו מ-A, ועוד ישר כזה שמקביל ל-AC והמרחק שלו מ-AC הוא חצי מהמרחק שלו מ-B. לא קשה מדי לראות שנקודת החיתוך של הישרים האלה היא מפגש התיכונים וגם נקודת החיתוך של הקטעים שבשאלה.

 

[verdor1]

לא מצליח להוכיח

אפשר הוכחה מלאה?
תודה מראש

 

[אורי769]

הוכחה נוספת

הנתון הוא שני קטעים מקודקודים A ו-B לקודקודים D ו-E בהתאמה, המחלקים זה את זה ביחס 2:1. מסתכלים על קטע DE ובעזרת דמיון משולשים מוכיחים שהוא קטע אמצעים.

 

[אורי769]

תרשים

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

 

[אוזו רוזו קוקורוזו]

או ככה

לפי אותו שרטוט:
שטח משולש AFC, וגם שטח משולש BFC, שווים לשליש שטח המשולש כולו.
ומכיוון ששטח משולש CFD שווה לשליש שטח משולש CAD, אז שטח משולש CFD שווה לשישית שטח המשולש כולו, כלומר למחצית שטח המשולש CFB, ולכן אורך הקטע CD שווה למחצית אורך BC.
וכו'.