פונקציה

[basenew]

פונקציה

האם יש דרך להפוך פונקציה "רגילה" לפונקציה סתומה?

 

[עריסטו]

במקום y=f(x) נכתוב y-f(x)=0

 

[basenew]

מעניין אותי לדעת אם קיימת עוד פעולה...

אבל אחרת שהופכת פונקציה לסתומה?

 

[בחשכת הלילה]

כן,

את הביטוי שעריסטו כתב באגף שמאל, תקיף בסוגריים ותכפיל ב-1.

 

[basenew]

לא הבנתי, להכפיל ב-1?!

או שהתכוונתי למינוס אחד?

 

[בחשכת הלילה]

לא משנה,

אפשר להכפיל בכל מספר קבוע שונה מ-0.
סתם.
אלה סתם תשובות לא רציניות לשאלה לא רצינית, סליחה על הבוטות.
אולי תנסה לנסח לעצמך, מה אתה בעצם מחפש?

 

[basenew]

טוב.

אני מחפש:
1) מספר שיטות להפיכת פונקציה לפונקציה סתומה.
2) להבין מדוע השיטה שהוצעה פועלת?
3) האם אפשר להשתמש במבנים מתמטיים (חבורה, שדה וכו') שימשו להגדרת פעולות בין "פונקציות סתומות"?
כנראה, שהשאלות שלי מאוד "רדודות". וכנראה שאפשר לתת תשובות "רדודות" לשאלות "רדודות" אלו. (?!)

 

[בחשכת הלילה]

אינני יודע

אם השאלות שלך הן "רדודות" או "לא רדודות", אבל מה שבטוח, זה שהן אינן מובנות. לי.
מה לא ברור בתשובה שכתב לך עריסטו?
האם לא ברור לך שהמשוואות
y = f(x)
y - f(x) = 0
-5(y - f(x)) = 0
הן שקולות?
זה לא מה שחיפשת?
אם לא, אז מה כן חיפשת?
למה אתה מתכוון "פעולות בין פונקציות סתומות"?

 

[בחשכת הלילה]

ניסיון להסבר פשוט של המונח "פונקציה סתומה".

נסתפק במקרה של פונקציית משתנה אחד.
נתחיל מפונקציה "רגילה" של משתנה אחד.
יש משתנה אחד, אפשר לקרוא לו למשל x. נניח שמוגדרת קבוצת כל הערכים האפשריים שלו. נקרא לה: "תחום הגדרה".
עכשיו, יש גם משתנה שני, נקרא לו y.

נניח, שלפי כלל מסוים, עבור כל ערך של x, מתוך תחום ההגדרה שלו, מוגדר ערך מסוים של y.
אז אנו אומרים ש-"y הוא פונקציה של x".

דוגמה: y=x²+5
כאשר תחום ההגדרה של x הוא כל המספרים הממשיים ממינוס אינסוף עד אינסוף.

דוגמה שנייה:
אני נכנס לים בנתיב מסוים. x - המרחק במטרים שעברתי בנתיב זה. נניח שתחום ההגדרה הוא [0,10] (לא התרחקתי יותר מ-10 מטרים מהחוף).
y - עומק הים בנקודה שהגעתי אליה.

בשתי הדוגמאות y הוא פונקציה של x.
כלומר, בכל אחת מהדוגמאות, לפי כלל מסוים, עבור כל ערך של המשתנה x, מוגדר ערך למשתנה y.

בכל אחת משתי הדוגמאות, כלל מסוים משלה. שני הכללים המסוימים - שונים. זה אומר, שמוגדרות בהן שתי פונקציות שונות.

הערה אחרונה לפני שעוברים ל"פונקציה סתומה".
בשתי הדוגמאות, הכלל המסוים הגדיר עבור כל ערך של x
ערך מסוים אחד ויחיד של y.
לפונקציות כאלה קוראים "חד-ערכיות".
אם כלל מסוים מגדיר עבור חלק מהערכים של x
יותר מערך אחד של y, אז הפונקציה אינה חד-ערכית.

פונקציה סתומה היא דרך אחרת להגדרת תלות בין שני משתנים.
כותבים משוואה בצורה כזאת:
F(x,y) = 0

F - זה כלל מסוים, לפיו, לכל זוג ערכים של המשתנים x ו-y, מוגדר איזשהו ערך שלישי. יעני, פונקציה של שני משתנים.

למשל:
z = x + y
היא דוגמה לפונקציה של שני משתנים: עבור כל זוג ערכים של המשתנים x ו-y, היא מגדירה ערך מסוים (שלישי).
אז אם נכתוב משוואה כזאת:
x + y = 0
היא תגדיר תלות מסוימת בין שני המשתנים, ובדיוק לזה קוראים "פונקציה סתומה".
בדוגמה הפשוטה הזאת אפשר להעביר לצד השני את x, ולקבל את הפונקציה הרגילה של משתנה אחד:
y = - x
שהיא חד ערכית.

דוגמה אחרת - משוואת המעגל:
x² + y² = R²
(R>0)
זו משוואת מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו שווה R.
גם כאן אפשר "לפתור" את המשוואה, כלומר, לבודד את המשתנה y כדי להציגו כפונקציה "רגילה" של x.
מתקבלת פונקציה דו-ערכית, המורכבת משני ענפים: החצי העליון של המעגל, והחצי התחתון. עבור כל ערך של x בין מינוס R ל-R (לא כולל), מוגדרים שני ערכים של y.

יש כמה שאתה רוצה דוגמאות לפונקציות סתומות, שאי-אפשר "לפתור". למשל בויקיפדיה. או זאת:
x^y = y^x
(x>1, y>1)
(איקס בחזקת ואי שווה ואי בחזקת איקס).
"פילוסופית": מדוע פונקציה סתומה היא בעצם "סוג של פונקציה רגילה"?!
פשוט מאוד! יש לנו כאן כלל ברור: עבור כל ערך x, הערכים של y הם אלה שמקיימים את המשוואה!
וזו כבר שאלה אחרת אם קל למצוא אותם, או קשה!
למשל, בדוגמה האחרונה, עבור x=2 המשתנה y מקבל את הערכים 2 ו-4
(הגרף של הפונקציה, דרך אגב, מתאים לל"ג בעומר

).

באופן דומה מוגדרת פונקציה סתומה של משתנים רבים, אבל לא ניכנס לזה.