חידה

הפרבולה

New member
חידה

נתון a b c k מספרים ממשיים וגם a b c שונים זה מזה, הוכח:

k = a*(k-b)*(k-c)/(a-b)*(a-c) + b*(k-a)*(k-c)/(b-a)*(b-c) + c*(k-a)*(k-b)/(c-a)*(c-b)
 
האם

הכוונה היא אכן ל:
k = [a*(k-b)*(k-c)/(a-b)]*(a-c) + [b*(k-a)*(k-c)/(b-a)]*(b-c) + [c*(k-a)*(k-b)/(c-a)]*(c-b)
או ל:
k = a*(k-b)*(k-c)/[(a-b)*(a-c)] + b*(k-a)*(k-c)/[(b-a)*(b-c)] + c*(k-a)*(k-b)/[(c-a)*(c-b)]
?
 

הפרבולה

New member
הביטוי השני שכתבתה

כלומר
k = a*(k-b)*(k-c)/[(a-b)*(a-c)] + b*(k-a)*(k-c)/[(b-a)*(b-c)] + c*(k-a)*(k-b)/[(c-a)*(c-b)]
 
פתרון

אגף שמאל זה פולינום לגרנז' (מעל המשתנה k) היחיד המקיים:
P(a) = a
P(b) = b
P(c) = c
שהוא: P(k) = k
 
למה כתבתי "אגף שמאל"?


הכוונה כמובן לאגף ימין.
 

הפרבולה

New member
האם לא צריך להוסיף גם ש

הפולינום הזה הוא רק מדרגה 2 ?

בכל אופן ההסבר שלי שאחרי שמעבירים הכל לאגף אחד

0 = a*(k-b)*(k-c)/[(a-b)*(a-c)] + b*(k-a)*(k-c)/[(b-a)*(b-c)] + c*(k-a)*(k-b)/[(c-a)*(c-b)] - k

מקבלים פולינום מדרגה 2 שיש לו 3 שורשים שונים ולכן זה פולינום שזהותית שווה ל 0.
 
כמובן, הייתי צריך לציין את זה.

למעשה, שני הפתרונות זהים. מהם שלושת השורשים - צריך לנחש. אך לפי הצורה שלו רואים שזה פולינום לגרנז'.
 

ספי12310

New member
לפי מה אני יכול לדעת, שפותרים את השאלה

.... בעזרת פולינום לגרנז'?
 
חידונת נוספת

יש 25 משקולות, שמשקליהן 1גר', 2גר', 3גר' וכו' עד 25גר'.
ניתן להבדיל ביניהן במראה החיצוני, אבל לא לדעת לפיו את משקליהן.
מישהו, שיודע את משקליהן של כל המשקולות, רוצה להוכיח באמצעות מאזניים ללא מספרים, שהוא יודע לפחות את משקלה של משקולת אחת.
מהו מספר השקילות המינימלי שיידרש לו?
 

הפרבולה

New member
אפשר למשל

ב 24 שקילות למצוא מי המכסימלי ( או המינימלי ) ואז הוא שווה ל 25 גרם ( או 1 גרם ).
 
אולי

הוא יכול לשים בצד אחד של המאזניים את המשקולות:
1-6 ו-20-25
ובצד השני את:
7-12 ו-14-19 ו-13
ואז להוריד את 13 ולהראות שהמאזניים מתאזנים (שתי שקילות סה״כ).
 
המממ

בשביל מה השקילה הראשונה? מדוע לא לשקול מייד בלי ה-13?

אבל בכל אופן זה לא מוכיח שום דבר. אפשר לשים בצד כל משקולת בעלת משקל אי-זוגי, ואח"כ לאזן את שאר המשקולות, 12 מול 12. כלומר, בשיטה זו אין שום ודאות לגבי המשקולת ששמנו בצד.
 
עוד ניסיון

ב-5 שקילות:

בצד אחד מניחים את 1-6, הסכום הוא 21 שזה המינימום שאפשר להגיע עם 6 משקולות, ואז מראים ש-22,23,24,25 כבדים יותר (4 שקילות), מה שמוכיח שהסכום בצד השני הוא אכן 21, ואז שוקלים מול 21.
 

הפרבולה

New member
ניסיון

בצד הראשו הוא שם 17 משקלות שהם המשקלות 1 עד 17, המשקל הכולל הוא 153.
כדי לאזן אז בצד השני הוא שם את המשקלות 18 20 21 22 23 24 25 שהסכום הוא גם 153 , זה האפשרות היחידה לקבל איזון של 17 משקלות מול 7 .
ולכן המשקלות שנשארת בחוץ חיבית להיות 19.
 
זה "קרוב", אבל...

עדיין לא נכון. יש אפשרות נוספת לאזן 17 מול 7: באפשרות שהצגתָ נחליף את ה-17 ב-18, ובצד השני ניקח את 19 במקום ה-18, ונקבל איזון 154=154, כאשר המשקולת שבצד היא 17.
 
למעלה