שאלה בפונקציות מרוכבות

[גדי20152015]

שאלה בפונקציות מרוכבות

תהי f פונקציה שלמה לא קבועה. הראו שקיים z כך ש (f(z מספר ממשי.
אני די בטוח שזה נכון, זה וריאציה שלי על שאלה מתוך ספר (אבל ייתכן שזה גם לא נכון..). ברור שמתבקש להשתמש במשפט ליוביל.
איך הייתם מוכיחים את זה ?

 

[AnarchistPhilosopher]

מעתיק מהרפרנס...

אני מציע להסתכל על ספרים כמו של קונווי (למרות שהפונט די גרוע) או של מרקושביץ'.
&nbsp
מצטער, המוח שלי מחוק... יותר מידי לימודים בראש...
&nbsp

 

[גדי20152015]

אנרכיסט אתה לומד עכשיו לתואר מוסמך ?

 

[AnarchistPhilosopher]

דוקטורט למדעי השקר והמתמטיקה כמובן.

 

[ןן גיל ןן]

שני פתרונות

א) לפי המשפט הקטן של פיקאר, התמונה של פונקציה שלמה לא קבועה מפספסת לכל היותר נקודה אחת. לכן כמעט כל מספר ממשי הוא בתמונה.
ב) אם f מפספסת את כל הישר הממשי, אז i*f מפספסת את כל הישר המדומה, ולכן (עד כדי שיקוף) אפשר להניח ש- Re f <0 בכל נקודה. זה אומר ש- e^f חסומה ולכן קבועה, נגזור ונקבל ש- f <= f'=0 קבועה.

 

[AnarchistPhilosopher]

אם אתה גוזר את האקספוננט אתה מקבל

f'<=0.
כי האקספוננט לא מתאפס אף פעם אז אפשר לחלק בו באי שוויון.
&nbsp
לא ברור לי איך קיבלת את הנוסחא האחרונה.
&nbsp
&nbsp

 

[AnarchistPhilosopher]

אני מתכוון לזה: f<=f'=0

 

[ןן גיל ןן]

לא הבנתי מה הבעיה

e^f=const
גוזרים:
f' * e^f=0
מחלקים ב- e^f (ששונה מאפס):
f'=0
ולכן
f=קבוע

 

[AnarchistPhilosopher]

לא שמתי לב שאמרת שהאקספוננט קבוע כי זו פונקציה

שלמה שחסומה ולכן קבועה מאיזשהו משפט שכבר שכחתי את שמו.
&nbsp

 

[ןן גיל ןן]

ליוביל

 

[גדי20152015]

מגניב, תודה !

טוב, את המשפט הקטן של פיקאר לא לומדים כחלק מחומר הקורס, אז לא יכול להשתמש בזה.
אבל התשובה השנייה שנתת ממש דומה לטכניקה שהם השתמשו בספר לפתרון השאלה המקורית.
אני מסיק מזה שהטכניקה הזו מאוד סטנדרטית ?

 

[ןן גיל ןן]

לא יודע

זה נראה משהו מתבקש בסיטואציה הזאת, אבל יש דברים יותר חזקים שאפשר להוכיח ׁׁׁ(פיקאר זה כמובן גירסת האקסטרים שלהם) ואז צריך טכניקות אחרות. אני בכל אופן לא מומחה לנושא.