איך מראים ששניי האינטגרלים הבאים הם 0..קצת חלוד בחומר הזה

[roger9]

איך מראים ששניי האינטגרלים הבאים הם 0..קצת חלוד בחומר הזה

אינטגרל של קוסינוס בשלישית טטא, בין 0 לשניי פאי.
אינטגרל של סינוס בשלישית טטא בין 0 לשניי פאי.

 

[עריסטו]

תנסה לצייר גרפים של הפונקציות

 

[AnarchistPhilosopher]

לא צריך לצייר.

שמים לב ש- cos^3(x)=cos(x)(1-sin^2x) ומתקיים cos(x)dx=d(sin(x))
&nbsp

 

[בחשכת הלילה]

ומה רואים במה שכתבתָ?

כשמציירים את הגרפים דווקא רואים מיידית, פשוטו כמשמעו.

 

[AnarchistPhilosopher]

זה שאתה לא רואה זה כבר סיפור אחר.

 

[בחשכת הלילה]

למה "סיפור" אחר? הרי זו בדיוק היתה הבקשה: להַראות!

 

[AnarchistPhilosopher]

קח y=sinx ותחליף גבולות אינטגרציה מה קיבלת?

כנראה שאתה חלוד כמו רוג'ר...
&nbsp

 

[בחשכת הלילה]

מה שכתבת עכשיו זו כבר שגיאה!

אדרבא, אילו "גבולות אינטגרציה" יצאו לך? מ-0 עד 0 ?

הבעייה היא לא לחשב את האינטגרלים. לחשב אותם זה קל מאוד כמובן, למשל כמו שכתבת בהתחלה, לפני שקלקלת עכשיו.

הגרפים, כפי שהציע עריסטו, ממשיכים מיידית, ויזואלית, למה צריך לצאת 0, עוד לפני שמתחילים לחשב משהו.

 

[AnarchistPhilosopher]

למה זה לא נכון?

 

[בחשכת הלילה]

זה לא נכון בעיקרון, כי להחלפת המשתנה

נדרשת מונוטוניות.
לפי הדרך שאתה מציע, האינטגרל של קוסינוס בחזקת 3 יהיה שווה 0 גם אם תחשב אותו בתחום מ-0 עד π.
חישוב האינטגרל אכן פשוט. התחלת נכון:
∫cos³x•dx = ∫(1 - sin²x)d(sin(x)) = sin(x) - sin³(x)/3 + C

{sin(2π) - sin³(2π)/3} - {sin(0) - sin³(0)} = 0

בנוגע ל"רואים בגרפים", אנו פשוט מכירים את המחזוריות שלהם, את תחומי העלייה והירידה שלהם, וכמה גרוע שלא "נצייר" אותם ידנית, אנו יודעים בבטחה שמתקבלות בדיוק אותן הצורות מעל ציר איקס, ומתחתיו!

 

[בחשכת הלילה]

הדוגמה למעלה לא טובה, אבל אפשר למצוא דוגמה אחרת.

 

[AnarchistPhilosopher]

תראה לי איך אתה מצייר את האינטגרנד בלי להשתמש בתוכנה?

כפי שמתבקשים במבחן.
&nbsp

 

[AnarchistPhilosopher]

כמובן שאפשר להגיד שלמשל cos^3(x)=cos(x)(1-sin^2x)

ואז להגיד שצריך לדעת את הגרף של קוסינוס ושל המכפלה של קוסינוס עם הריבוע ואז להחסיר.
&nbsp
אבל נראה לי שבלי תכנה זה יותר קשה מאשר לחשב את האינטגרל.
&nbsp

 

[בחשכת הלילה]

לא מדובר בסרטוט "מדויק",

אלא בסקיצה. הגרף של קוס איקס מ-π עד 2π זה פשוט העתק של הגרף של אותה הפונקציה מ-0 עד π - עם היפוך הסימן!
כך זה גם אחרי שמעלים את הפונקציה בחזקת 3.
לכן, "רואים" שהשטח החיובי בחצי הראשון של התחום, שווה (זהה) לשטח השלילי בחצי השני של התחום. לא כך?

בנוגע לפתרון הפשוט של האינטגרל, אפשר להתחיל כמו שכתבתָ:
∫cos³x dx = ∫(1 - sin²x)d(sin(x)) = sin(x) - sin³(x)/3+ C
ומכאן לעבור לאינטגרל המסוים מ-0 עד 2π.