משפט חדש בגיאומטריה - משפט המשולשים הממוספרים

[aetzbarr]

משפט חדש בגיאומטריה - משפט המשולשים הממוספרים

משפט חדש בגיאומטריה- משפט המשולשים הממוספרים

המשולשים הממוספרים הם ישרי זווית שיסומנו כך.
א לניצב אופקי, ב לניצב אנכי, ג ליתר
הם מקיימים את המשוואה אא + בב = גג

כדי ליצור משולש ממוספר בשיטת עצבר , יש לבחור א גדול מ1
ב יחושב על פי מחצית של ( אא מינוס 1)
ג יחושב על פי ( ב+1)

משולשים ממוספרים לדוגמה
א2, ב1.5 , ג2.5
א4 , ב7.5 , ג8.5
א7 , ב24, ג25

משפט המשולשים הממוספרים אומר:

( 1 חלקי א) הוא טנגנס -של מחצית הזווית - הנמצאת מול א

בדיקה: במשולש ממוספר א2 , ב1.5, ג2.5
טנגנס הזווית מול א = 1.333 וערכה כ 53 מעלות
מחשבון מגלה כי טנגנס של 26.5 מעלות = 0.498
1 חלקי א = 0.5

בדיקה: במשולש ממוספר א4 , ב7.5 , ג8.5
טנגנס הזווית מול א = 0.5333 וערכה כ 28 מעלות
מחשבון מגלה כי טנגנס של 14 מעלות = 0.249
1 חלקי א = 0.25


בדיקה: במשולש ממוספר א7 , ב24, ג25,
טנגנס הזווית מול א = 0.291666 וערכה כ 16.2 מעלות
מחשבון מגלה כי טנגנס של 8.1 מעלות = 0.142321
1 חלקי א = 0.1428571


יש להוכיח כי משפט המשולשים הממוספרים , נכון לכל משולש ממוספר

וכמובן...אפשר לנסות להפריך אותו עם דוגמה יחידה

בהצלחה

א.עצבר

 

[aetzbarr]

חיפשתי בוויקיפדיה, ולא מצאתי את משפט המשולשים הממוספרים

גם לא מצאתי את המשוואה ב = מחצית של ( אא מינוס 1)
שבעזרתה מייצרים משולשים ממוספרים.

א.עצבר

 

[aetzbarr]

האם יש (הוכחה או הפרכה) למשפט המשולשים הממוספרים ?

 

[אורי769]

הטענה נכונה

אפשר להוכיח זאת די בקלות ממשפט חוצה הזוית. במקרה שלך חוצה הזוית מול א מחלק את הניצב א לשני חלקים, נקרא להם ד ו-ה. נניח ד הוא הקרוב ל-ב ו-ה הוא הקרוב ל-ג. אז המשפט אומר ש: ד לחלק ל-ב שווה ה לחלק ל-ג.
מכאן אני משאיר לך להמשיך את החשבון אם אתה מעוניין ויש בכוחך לעשות זאת.

 

[aetzbarr]

תודה רבה על הרמז "העבה"

ועכשיו, לאחר שאין ספק בנכונותו של משפט המשולשים הממוספרים,
יש לעבור אל העיקר.
והעיקר היא משוואת היצירה ב = מחצית של ( אא מינוס 1)

המספרים המופקים ממשוואה זו,
יוצרים משולשים ישרי זווית מיוחדים,
שרק בהם מתקיים
1 חלקי א = טנגנס מחצית הזווית, שקיימת מול א

משוואה זו גם יוצרת את אוסף הנקודות ,הנראה כמו קו שרשרת טבעי.

את משוואת הקסמים הזו הצגתי בפורום כמה פעמים,
אך כרגיל, לא זכיתי למענה.

התגובה שלך, מהווה עבורי, משב רוח מרענן.

משוואת הקסמים הזו חדשה בהחלט, ואינה מופיעה בוויקיפדיה.

המשך חקירתה מגלה, כי היא קשורה לרעיונות היסודיים של חדו"א.

א.עצבר

 

[aetzbarr]

יש הבדל תהומי בין משוואת הקסמים ב = מחצית של ( אא מינוס 1 )

למשוואה הפופולרית ב = אא

כל מתעניין יחקור ויבחין בהבדל התהומי העצום בתפוקת המשוואות

הנה דוגמה מעניינת
אם נציב במשוואת הקסמים א = 1 + שורש 2
נקבל כי ב = 1 + שורש 2
וכמובן ג = 2 + שורש 2

משולש שווה ניצבים, הוא המשולש היחידי ששייך למשולשים הממוספרים,
....שאין לו מספרים רציונליים.
לכל שאר המשולשים הממוספרים, יש מספרים רציונליים.

1 חלקי א במשולש זה, הוא כמובן טנגנס של 22.5 מעלות.

א.עצבר

 

[aetzbarr]

מהפך..יש קו ישר אחד, יש קו עקום אחד, ויש אינסוף קווים עגולים

את המהפך הגיאומטרי מביעים שלושת המשפטים הבאים..

יש קו ישר אחד, ויש לו צורה אחידה ייחודית בכל מקום.
יש קו עקום אחד, ויש לו צורה אחרת בכל מקום.
ויש אינסוף קווים עגולים, ולכל קו עגול יש צורה אחידה ייחודית.

משוואת הדגל של הקו הישר היא אא + בב = גג , הידועה בשם משפט פיתגורס

משוואת הדגל של הקו העקום היא ב = מחצית של ( אא מינוס 1 ),
ואליה מצטרף משפט המשולשים הממוספרים.
לכל נקודה של קו עקום יש זווית שיפוע ייחודית, שהטנגנס שלה = 1 חלקי א
הקו העקום הוא קו פיזיקלי , ו 1 שלו יכול להיות 1מ"מ , 1 ס"מ , 1 מטר, וכן הלאה

משוואות הקווים העגולים, כבר הוצגו.
גם הקווים העגולים הם קווים פיזיקליים.

א.עצבר

 

[aetzbarr]

גילוי היחס הקבוע, בין טנגנס של שתי זוויות

גילוי היחס הקבוע, בין טנגנס של שתי זוויות

משוואת היצירה Y=XX או ב = אא
יוצרת אוסף של נקודות, הנראה מרחוק כמו קו עקום.

לכל נקודה נייחס שתי זוויות פגיעה בציר א
זווית ראשית נוצרת , כאשר קו ישר יוצא מהנקודה לעבר ציר א ,
והוא פוגע בראשית הצירים .

זווית משנית נוצרת, כאשר קו ישר יוצא מהנקודה לעבר ציר א
והוא פוגע בו בזווית גדולה יותר , שהטנגנס שלה גדול פי 2

דוגמה:
נקודה ב6.25 נמצאת מעל נקודה א2.5
נוסיף עתה קו ישר היוצא מנקודה ב6.25 , והוא מגיע אל ראשית הצירים.
קו זה יוצר עם ציר א זווית ראשית , שהטנגנס שלה = א = 2.5

עתה נוסיף עוד קו ישר, היוצא מנקודה ב6.25, אל ציר א , ופוגע בו בזווית משנית, שהטנגנס שלה גדול פי 2 , מהטנגנס של זווית ראשית..

כדי לדעת איך לצייר את הקו הזה, נצייר 3 קווים אנכיים.
קו אנכי ב6.25 הניצב על ציר א בנקודה א2.5
מצד ימין שלו נצייר קו אנכי ב7.5625 , הניצב על ציר א בנקודה א2.75
מצד שמאל שלו נצייר קו אנכי ב5.0625 , הניצב על ציר א בנקודה א 2.25

עתה נחבר את קצה קו אנכי ב7.625 - עם קצה קו אנכי 5.0625 – בקו ישר - ונמשיך אותו עד ציר א. ( קו זה "כמעט נוגע" בקצה קו אנכי ב6.25 )
קו זה יוצר עם ציר א , זווית , שהטנגנס שלה = 5
(7.5625 מינוס 5.0625 ) חלקי ( 2.75 מינוס 2.25) = 2.5 חלקי 0.5 = 5

את התוצאה של טנגנס 5 היינו מקבלים , אם שלושת הקווים האנכיים היו צפופים יותר. ובמקרה זה "כמעט נוגע" היה משתפר.
היות ואין גבול לשיפור של "כמעט נוגע" ,אפשר לייחס לקו אנכי ב6.25, הניצב על א2.5, שיפוע תיאורטי, היוצר עם ציר א , זווית משנית בעלת טנגנס 2א = 5

מסקנות:
לכל נקודה הנוצרת על ידי משוואת היצירה ב = אא ,
יש זווית ראשית בעלת טנגנס א, וזווית משנית בעלת טנגנס 2א
( זווית משנית מביעה את השיפוע התיאורטי של הנקודה)

לנקודה ב4 א2 , יש זווית ראשית בעלת טנגנס = א = 2 ,
וזווית משנית בעלת טנגנס = 2א = 4


היחס הקבוע 2 ,
בין טנגנס זווית משנית לטנגנס זווית ראשית, אופייני למשוואת היצירה ב = אא

משוואת היצירה ב = מחצית של ( אא מינוס 1 )
מגלה יחס קבוע של 2 , בין הזוויות, ולא בין טנגנס הזוויות.

א.עצבר

 

[aetzbarr]

כנראה שאין כבר צורך בחדו"א ( הערות יתקבלו בברכה)

כנראה שאין כבר צורך בחדו"א ?

נשתמש במשוואת היצירה ב = אא , ונבחר את א3 ב9
טנגנס זווית ראשית = א = 9 חלקי 3 = 3
זווית ראשית שייכת למשולש ראשי, בעל ניצב אופקי 3, וניצב אנכי 9
שטח משולש ראשי = מחצית של 9*3 = 13.5

טנגנס זווית משנית = 2א = 6
זווית משנית שייכת למשולש משני בעל ניצב אופקי 1.5, וניצב אנכי 9
שטח משולש משני = מחצית של 9*1.5 = 6.75 = מחצית שטח של משולש ראשי.

שטח משולש בעל יתר עקום = שורש של ( 13.5 * 6.75) = 9.54
ניצב אופקי של משולש זה 3 , ניצב אנכי 9

נבחר את א5 ב25
שטח משולש ראשי 62.5
שטח משולש משני 31.25
שטח משולש בעל יתר עקום = שורש מכפלת השטחים = 44.194
ניצב אופקי של משולש זה 5 , וניצב אנכי 25
וכך הלאה

א.עצבר

 

[aetzbarr]

מלבנים עם אלכסון עקום...דרושה הוכחה של חדו"א

מלבנים עם אלכסון עקום – דרושה הוכחה של חדו"א

ב - צלע ארוכה של המלבן – אנכית –
א - צלע קצרה של המלבן – אופקית –

נקודות אלכסון עקום יושגו עם המשוואה ב = אא

נבחר מלבן א7 ב49
שטח המלבן = אב = 343

שטח משולש ראשי עם אלכסון ישר, = מחצית של אב = 171.5
שטח משולש משני עם אלכסון ישר = רבע של אב = 85.75
שטח משולש שלישי עם אלכסון עקום = שורש של ( 85.75*171.5) = 121.26
שטח המשולש השלישי = 35.35 אחוז משטח המלבן
דרושה הוכחה של חדו"א לשטח המשולש השלישי.

נבחר מלבן א12 , ב144
שטח המלבן = אב = 1728

שטח משולש ראשי עם אלכסון ישר, = מחצית של אב = 864
שטח משולש משני עם אלכסון ישר = רבע של אב = 432
שטח משולש שלישי עם אלכסון עקום = שורש של ( 864*432) = 610.9
שטח המשולש השלישי = 35.35 אחוז משטח המלבן
דרושה הוכחה של חדו"א לשטח המשולש השלישי.

א.עצבר

 

[aetzbarr]

במקום חדו"א - שיטת שלושת הזוויות ושלושת המשולשים

שיטת שלושת הזוויות ושלושת המשולשים

נתאר מלבן בעל צלע אופקית א5 , וצלע אנכי ב25
היות ו ב = אא אז שטח המלבן = אאא = 125
פינה שמאלית תחתונה של המלבן, מסומנת ב א אפס ב אפס
פינה ימנית עליונה של המלבן, מסומנת ב א5 ב25

לנקודת הפינה העליונה הימנית של המלבן , נייחס זווית ראשית.
זווית זו נוצרת , כאשר קו ישר יוצא מהנקודה כלפי מטה, והוא פוגע בפינת האפס.
זווית ראשית מופיעה בין הקו הישר שירד כלפי מטה, ובין צלע א
הטנגנס של זווית ראשית = א של הנקודה = 5
זווית ראשית שייכת למשולש ראשי, ששטחו = 50 אחוז משטח המלבן = 62.5

לנקודת הפינה העליונה הימנית של המלבן ,נייחס גם זווית משנית.
זווית משנית מביעה את השיפוע התיאורטי של הנקודה.
זווית זו נוצרת כאשר קו ישר יורד מהנקודה כלפי מטה, והוא פוגע בצלע א
הטנגנס של זווית זו הוא 2א של הנקודה = 10
זווית משנית שייכת למשולש משני ששטחו = 25 אחוז משטח המלבן = 31.25

עתה נדמה את קיומו של משולש שלישי, כאשר קו ישר יורד מהנקודה כלפי מטה, והוא יוצר עם צלע א זווית שלישית , שהטנגנס שלה = 1.5 של הנקודה = 7.5
זווית שלישית זו שייכת למשולש שלישי, ששטחו = 33.33 אחוז משטח המלבן = 41.66

נמלא עתה את פנים המלבן בנקודות, המופקות ממשוואת היצירה ב = אא
א אפס ב אפס, א 0.5 ב 0.25 , א1 ב 1 , א1.5 ב2.25 , א2 ב4 , א2.5 ב6.25, א3 ב9 , א3.5 ב12.25 , א4 ב16 , א4.5 ב20.25

אוסף הנקודות הזה נראה מרחוק כמו יתר עקום של משולש,
בעל צלע אופקית א5 , וצלע אנכית ב25
שטח המשולש הזה קטן משטח משולש ראשי 62.5 , וגדול משטח משולש משני 31.25.
שטח המשולש הזה = 41.666

עתה אפשר לחשב ישירות את שטחו של משולש בעל יתר עקום, שנקודותיו נוצרו על ידי משוואת היצירה ב = אא

נתון מלבן בעל צלע אופקית 7 וצלע אנכית 49 .
בתוכו אלכסון עקום, שנקודותיו נוצרו על ידי משוואת היצירה ב = אא
יש לחשב את שטח המשולש , שהאלכסון הוא היתר העקום שלו.

שטחו = 0.333 * ( 7 * 7*7 ) = 114.32

א.עצבר

 

[aetzbarr]

סיכום

סיכום

כל נקודה המצוירת בין צירי א ב , ואשר נוצרה על ידי המשוואה ב = אא
נמצאת מעל מספר א מסוים.
השיפוע התאורטי של הנקודה = 2א
השיפוע הממשי של הנקודה ( אל ראשית הצירים) = א
השיפוע הנוסף של הנקודה הוא 1.5 א

השיפוע התיאורטי שייך ליתר של משולש ששטחו = ל 25% משטח מלבן אב
השיפוע הממשי שייך ליתר של משולש ששטחו = ל 50% משטח מלבן אב
השיפוע הנוסף, שייך ליתר של משולש ששטחו = ל 33.33% משטח מלבן אב

למלבן זה יש אלכסון עקום, שנקודותיו נוצרו על ידי המשוואה ב = אא
אלכסון עקום זה - יחד עם צלעות המלבן - יוצרים משולש ישר זווית בעל יתר עקום.
שטחו של משולש זה , הוא 33.33% משטח המלבן.

א.עצבר