סדרה חשבוניתו-גאומטרית

iMeTaVDR

New member
סדרה חשבוניתו-גאומטרית


[URL]https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetico%E2%80%93geometric_sequence[/URL]
תהי סדרה חשבוניתו-גאומטרית כלשהי, שטווחה הוא ℂ, כך שהאיבר הראשון שלה הוא 2, האיבר הרביעי הוא ( 48- ), האיבר השביעי הוא 1,134 והאיבר האחד-עשר הוא 74,358. מצאו (באופן מדויק!) את כל הערכים האפשריים שיכול לקבל האיבר העשרים ואחד.
 

עריסטו

Active member
התחלה של פתרון

אני אמספר את האיברים החל מ-0, אז נקבל משוואות
ab=2
(a+3d)bq^3=48
(a+6d)bq^6=1134
(a+10d)bq^10=74358
וצריך למצוא את האיבר במקום 27.
מהמשוואה הראשונה נובע
abq^3=2q^3
כמו כן
(a+3d)bq^3=48
נחסר ונקבל
3dbq^3=48-2q^3...(1)
מהמשוואה (a+3d)bq^3=48 נובע
(a+3d)bq^6=48q^3
כמו כן
(a+6d)bq^6=1134
נחסר ונקבל
3dbq^6=1134-48q^3...(2)
נחלק את משוואה 2 במשוואה 1 (q ו-b שונים מאפס, צריך לבדוק בהמשך את המקרה d=0) ונקבל
q^3=(1134-48q^3)/(48-2q^3)
וזאת משוואה ריבועית בנעלם q^3.
 

iMeTaVDR

New member
שים לב שהאיבר הרביעי שווה למינוס 48 ולא ל-48.

(קצת מבלבל עם היישור (או העיקום) של תפוז)

אפשר להניח ללא הגבלת הכלליות ש-b=1 בגלל שאם נסמן ab≡A ו-bd≡D נקבל:
(a+(n-1)d)bq^(n-1)=(ab+(n-1)bd)q^(n-1)=(A+(n-1)D)q^(n-1)
או
(a+nd)bq^n=(ab+nbd)q^n=(A+nD)q^n

 

דיברגנט חדש

Well-known member
כנראה שיש רק פיתרון אחד אפשרי

יצא לי 2 פיתרונות, כאשר פתרון אחד היינו אפס.
פתרון שני היינו -3.63099E+12.

באצעות האיבר העשירי יבוטל פתרון אפשרי ואני מהמר שיבוטל הפתרון השני והתוצאה תהיה רק הפתרון האחד שהיינו אפס.

מיד אבדוק ...
 

דיברגנט חדש

Well-known member
בדקתי ואכן יש רק פתרון אפשרי אחד

הפתרון כמו שהימרתי היינו אפס ואז יוצא האיבר העשירי בדיוק כפי שנתון.
אם משתמשים בפתרון השני, האיבר העשירי יוצא 75434.50483 ולכן פתרון זה נופל.
&nbsp
 
התשובה מעניינת מאוד,

מצאתי אותה באמצעות חישוב רגיל.
מכיוון שהתשובה הסופית מעניינת מאוד, אני מנחש שצריך להיות פתרון אלגנטי יותר.
 
פתרון באמצעות חישוב רגיל

נתון:
ab = 2
(a+3d)b(q^3) = - 48
(a+6d)b(q^6) = 1134
(a+10d)b(q^10) = 74358
(a+27d)b(q^27) = ?

(2+3bd)(q^3) = - 48
(2+6bd)(q^6) = 1134
(2+10bd)(q^10) = 74358
(2+27bd)(q^27) = ?

3bd = - 48/(q^3) - 2 = 1134/2/(q^6) - 1
(q^3)^2 + 48(q^3) + 567 = 0

1. q^3 = - 27, bd = - 2/27
2. q^3 = - 21, bd = 2/21

q = 74358 / (2+10bd) / (q^3)^3
והאפשרות השנייה נושרת (כי מתקבל בה q שהוא בו זמנית רציונלי ואי-רציונלי).
ומתקבלת תשובה סופית חד משמעית.
 
זו היתה חידה, או תרגיל?

בחישובים לא היה שום דבר מיוחד.
חשבתי שהתכוונת לאיזשהו טריק, שמספק דרך מהירה יותר למציאת הפתרון.

אותה השאלה גם לגברי הבעייה הנוספת: האם זה סתם תרגיל? או יש בה "צימוק"?
 

iMeTaVDR

New member
יש טריק


החידה יצאה יותר קלה ממה שרציתי.

מה היה קורה אם הייתי בוחר איברים במקומות כאלה כך שהמנה של ה-"אחד-פחות"ים שלהם היא לא 2 (ואולי גם לא 3 ולא 4)?... ...הבעיה שהסדרה "מתפוצצת" מאוד מהר, ולא רציתי לתת אותה עם מספרים מכוערים מדי, אז התקשתי בלמצוא דוגמאות טובות יותר (מצאתי דוגמא טובה יותר, אבל החלטתי לתת את הבעיה השניה במקום).

כמה פרטים מהבעיה הנוספת עשויים להצית כמה שאלות על הבעיה הראשונה: שים לב לבחירת האיברים בבעיה השניה וגם ש-4+7=11 וגם 28=4*7. האם הנתונים של הבעיה הראשונה קובעים סדרה חשבוניתו-גאומטרית יחידה, או האם כל הסדרות החשבוניתו-גאומטריות המקיימות את הנתונים מקיימות גם שהאיבר ששאלתי עליו הוא 0?
 

iMeTaVDR

New member
סכום של סדרה גאומטרית


יהיו שתי סדרות גאומטריות שונות, שטווחן הוא ℂ ושאינן קבועות, ונסמנן ב-(g₀) ו-(g₁). יהיו f₀,f₁:ℕ→ℂ כך ש-(n)f₀ ו-f₁(n) הן סכומי n האיברים הראשונים של הסדרות הגאומטריות הנ"ל, בהתאמה. יהיו מספרים טבעיים m ו-k, שאינם 0, כך ש:
1 .0≠f₀(m),f₁(m),f₀(k),f₁(k).
2. f₀(m)=f₁(m).
3. f₀(k)=f₁(k).
4. f₀(m+k)=f₁(m+k).

הראו כי 1≠gcd(m,k) וגם ש-f₀(mk)=f₁(mk).
 
למעלה