עזרה בפונקציה מעריכית

[שלומי410]

עזרה בפונקציה מעריכית

בחקירה מלאה של הפונקציה המוצגת , לא מצליח לפתור את סעיף מציאת האסימפטוטות .יש בכלל אסימפטוטות בפונקציה הזו ? הסתבכתי עם הצבת האינסוף בפונקציה. יצא לי 1 חלקי אינסוף כפול אינסוף (באסימפטוטה אופקית).

 

[בחשכת הלילה]

אם למדת על המספר e,

היית גם אמור ללמוד שהפונקציה הנ"ל שןאפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף. משמע, הישר y=0 הוא אסימפטוטה שלה.

 

[שלומי410]

ואני הוטעתי ע"י התשובות ניסיתי להוכיח שאין אסימפטוטה אופקית

ולפי תשובתך אני מבין שיש אסימפטוטה אופקית ושכנראה נפלה טעות בדף התשובות לתרגול כי שם בתשובות לסעיף האסימפטוטות כתוב שאין אסימפטוטות.(ראה בתמונה שצירפתי תרגיל 5) . תוכל להראות את חישוב הגבול ב -X שואף לאינסוף ומינוס אינסוף ? המוכיח קבלת 0 ולכן קיומה של אסימפטוטה אופקית ?

 

[בחשכת הלילה]

יתכן שאני טעיתי בהגדרה והטעיתי אותך, צריך לבדוק.

התפיסה שלי היתה, שאם פונקציה "שואפת להתלכד" עם ישר מסוים, כאשר x שואף לאינסוף, אז ישר זה נקרא "אסימפטוטה" של הפונקציה הנ"ל,
ובלי קשר,
אם הפונקציה "שואפת להתלכד" עם ישר מסוים, כאשר x שואף למינוס אינסוף, אז גם ישר כזה נקרא "אסימפטוטה".

אבל יתכן שטעיתי והטעיתי אותך, וההגדרה הנכונה של "אסימפטוטה" היא "שאיפת הפונקציה להתלכד" עם אותו ישר מסוים הן כאשר x שואף לאינסוף, והן כאשר הוא שואף למינוס אינסוף.

לפי הגדרה מעודכנת כזו, לפונקציה הנ"ל אכן אין אסימפטוטה אפקית, כי היא שואפת ל-0 רק כאשר x שואף לאינסוף, ולא כאשר הוא שואף למינוס אינסוף.
אז, כאמור, אבדוק את ההגדרה.

אבל גם אם טעיתי בהגדרה, עדיין אנו זקוקים ל"אסימפטוטות החד-צדדיות" למען שרטוט סקיצה של הפונקציה, כלומר, בכדי להבין "איך היא הולכת".

בנוגע לשאיפת הפונקציה ל-0 כאשר x שואף לאינסוף, זה גבול "ידוע". למשל כך: עבור x חיובי:
f(x) = (x / e^x)² =
= (x / (1 + x + x²/2! + x³/3! + . . .))² < (x / (x²/2))² = 4/x²
שזה חיובי ושואף ל-0 כאשר x שואף לאינסוף.
גם עבור כל m>0 הפונקציה
f(x) = x^m / e^x
שואפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף.

 

[שלומי410]

אשמח אם תברר את העניין.

זו שאלה מתוך מספר שאלות ששתיים מהן בטוח יהיו במבחן שיש לי בחדוו"ה. לפי חוק מרפי דווקא השאלה שלא סגורים עליה תופיע במבחן. לכן חשוב לי לפתור אותה נכון כולל סעיף האסימפטוטות. לגבי אנכית יודעים כבר שאין אסימפטוטה, נשאר רק בירור לגבי האפקית. אגב חרשתי את האינטרנט ולא מצאתי פונקציה דומה. לפי ההסברים שראיתי כנראה שיש אסימפטוטה אופקית בפונקציה הזו. בכל אופן אשמח אם תעזור לי לסגור את הפינה הזאת.

 

[בחשכת הלילה]

לצערי אני מתקשה לייעץ לך משהו

לפי ויקיפדיה נראה לי שאני צדקתי: יש אסימפטוטה לא אנכית אם הפונקציה "שואפת לישר" מסוים כאשר x שואף לפלוס או למינוס אינסוף.
לדוגמה, לפונקציה (f(x)=arctan(x יש שתי אסימפטוטות שונות - כאשר היא שואפת למינוס ולפלוס אינסוף, ולפונקציה שלך יש אסימפטוטה רק כאשר x שואף לפלוס אינסוף, אבל זה מספיק להגדרת אסימפטוטה.
אבל ראיתי בויקיפדיה בעברית גם גמגום מסוים בעניין זה.
אולי עדיף שתכתוב את כל זה בפירוט: תכתוב שהתשובה לסעיף על אסימפטוטות תלויה בהגדרה! שאם נגדיר כך, התשובה תהיה כזאת, ואם נגדיר אחרת, התשובה תהיה אחרת.