מספרים זוגיים ואי-זוגיים

[basenew]

מספרים זוגיים ואי-זוגיים

איך מוכיחים מה יותר גדול? צריך הסבר + הוכחה

 

[בחשכת הלילה]

מה יותר גדול ממה?

 

[הפרבולה]

מה הכוונה מי יותר גדול ?

 

[basenew]

אני חושב שהזוגיים

בגלל שיש את ה-0 שהוא זוגי.

 

[הפרבולה]

השאלה שלך לא ברורה

כנראה שאתה מדבר על השוואת עוצמות של קבוצות ? על איזה קבוצות מדובר ( האם הזוגיים והאי זוגיים יכולים להיות גם שלילים, האם אפס כלול ... ).

אולי תגדיר קודם כל את הקבוצות בצורה מדויקת.

 

[basenew]

אני צריך להבדיל בין כלל המקרים האפשריים

- זוגיים
- זוגיים חיוביים
- אי-זוגיים
- אי-זוגיים חיוביים
- זוגיים (כולל 0)
- האם אני יכול להוסיף את התנאי אי-זוגיים את האפס? וכך להגיש שהיא שווה לזוגיים עם אפס?

 

[בחשכת הלילה]

עדיין לא ניסחת את השאלה שלך.

מה בדיוק אתה שואל?

מה גדול יותר, פיל או עכבר? תשובה: פיל גדול יותר מעכבר, הן בנפח והן במשקל.

איזה מספר גדול יותר, זוגי או אי-זוגי? תשובה: תלוי איזה מספר זוגי, ואיזה מספר אי-זוגי! למשל, 8 גדול מ-5, אבל 8 קטן מ-13.

מה יש יותר: מספרים זוגיים, או מספרים אי-זוגיים? תשובה: התשובה לא מהירה. אם אתה שואל, איזה מספר גדול יותר: כמות המספרים הזוגיים, או כמות המספרים האי-זוגיים, אז התשובה היא "אין תשובה", כי שתי הכמויות אינן קיימות יש אינסוף מספרים זוגיים, ויש אינסוף אי-זוגיים.

לכן קיימת הכללה של המונח "כמות", שיכלול גם קבוצות בעלות אינסוף אברים, כמו למשל קבוצת המספרים הזוגיים. להכללה הזאת קוראים "עוצמה":
העוצמה של קבוצה סופית (בעלת מספר סופי של אברים) היא כמות האברים שלה.
השוואת עוצמות של קבוצות סופיות היא השוואת כמויות אבריהן.
הגדרה נוספת: העוצמה של קבוצה אינסופית נחשבת ל"גדולה יותר" מהעוצמה של כל קבוצה סופית.

אבל הכי מעניין זו כמובן השוואת עוצמות של קבוצות אינסופיות.
עכשיו אתה יכול לנסח את השאלה, שכנראה התכוונתָ אליה: העוצמה של איזו קבוצה גדולה יותר: של קבוצת המספרים הזוגיים, או האי-זוגיים?

על מנת לענות על שאלה זו, יש להכיר את ההגדרה של השוואת עוצמות.

באופן גס, מדובר באפשרות להעמיד אין סוף זוגות, בכל זוג יש אבר אחד מקבוצה A ואבר אחד מקבוצה B, כך שכל אברי קבוצה A יהיו באחד הזוגות, וכל אחד מאברי קבוצה B יהיה באחד הזוגות.

אם הצלחנו, אם קיימת דרך כזאת להציב את כל אברי שתי הקבוצות בזוגות, כך שאף אחד לא יישאר בצד, אז לפי ההגדרה שתי הקבוצות הן בעלות אותה עוצמה.

אם לעולם לא נצליח, איך שלא ננסה תמיד יישארו בצד אברים של אחת הקבוצות כאשר האברים של הקבוצה השנייה הסתיימו, אז לפי ההגדרה העוצמות שונות.
מעניין, שבכל מקרה ספציפי כזה, תמיד יישארו בצד רק אברים של אחת הקבוצות! לעולם לא יהיה מצב, שאפשר לסדר אותם בזוג כך שיישארו בצד רק אברים של קבוצה A, וגם אפשר לסר אותם בזוגות כך, שיישארו בצד דווקא אברים של קבוצה B.
שים לב! אני מדבר כאן רק על המקרה שאין אפשרות לסדר את כולם בזוגות כך שאף אחד לא יישאר!
ובכן, אם אין אפשרות לסדר בזוגות את כולם כך שאף אחד לא יישאר, אז תמיד יישארו בצד אברים של אחת הקבוצות, ופי ההגדרה אנו אומרים שהעוצמה שלה גדולה יותר מהעוצמה של הקבוצה השנייה.

זה לא כל כך "מפחיד" כמו שזה נראה

וזה הכרחי להבנת ההמשך.

 

[basenew]

תודה. הבנתי