משפט הסינוסים - עזרה בשאלה תודה

[Bar1980311]

משפט הסינוסים - עזרה בשאלה תודה

 

[בחשכת הלילה]

השתמשי בנוסחה לסינוס מחצית הזווית -

sin(α/2) = sqrt((1 - cos(α)) / 2)
עבור זווית חדה α (זווית הבסיס).

 

[כביש 22]

לא מצליח לפתור את זה.

לקוסינוס של הזוית אלפא הגעתי בעזרת משפט הקוסינוסים של המשולש המקורי.
את זה הצבתי בתור הזווית בזהות של סינוס חצי הזווית ומזה הגעתי לכך שסינוס מחצית הזווית של אלפא שווה לשורש של 2/10.
מפה אני לא יודע להמשיך.
אפשר רמז? (בתקווה שעד פה אני לא טועה).

 

[בחשכת הלילה]

דבר ראשון,

את קוסינוס זווית הבסיס אפשר "לקבל" ישירות מהגדרת הקוסינוס של זווית חדה במשולש ישר זווית: "נוריד" גובה לבסיס ונקבל משולש ישר זווית שאחד הניצבים שלו זו מחצית הבסיס = 6, והיתר שווה 10, והקוסינוס שווה 6/10 = 3/5.

את סינוס מחצית זווית הבסיס חישבת נכון.

יהי המשולש המקורי ABC, כאשר B זה "קודקוד הראש".
השוקיים AB=CB=10
הבסיס AC=12
יהי AD חוצה הזווית A (הנקודה D נמצאת על השוק BC).

מוצאים את אורך הקטע CD בעזרת משפט חוצה הזווית:
CD : DB = AC : AB
ומכאן:
CD = CB • AC / (AC + AB) = 60/11
עכשיו יש מספיק נתונים לחישוב AD בעזרת משפט הסינוסים במשולש ADC. לא כך?
[בדרך השנייה אין צורך במחצית הזווית: יש מספיק נתונים לחישוב אורך חוצה הזווית בעזרת משפט הקוסינוסים באותו המשולש ADC].

 

[כביש 22]

לא מבין את השלב של "ומכאן".

אין לי מושג איך הגעת לזה מ:
CD : DB = AC : AB

 

[בחשכת הלילה]

נסה לפתור מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים

נתון היחס בין שני מספרים, נתון הסכום שלהם, וצריך למצוא אותם.
נתון:
x/y = a/b
ונתון הסכום x+y. צריך למצוא את x ואת y.
אם זה לא מובן מאליו שהתשובה היא:
x = (x+y)•a/(a+b)
y = (x+y)•b/(a+b)
אז אפשר להגיע לזה למשל כך:
x/y = a/b
x/y + 1 = a/b + 1
(x+y)/y = (a+b)/b
y = (x+y)•b/(a+b)

y/x = b/a
y/x + 1 = b/a + 1
(x+y)x = (a+b)/a
x = (x+y)•a/(a+b)

:או ככה
x = (x+y) - y = (x+y) - (x+y)•b/(a+b) = (x+y)•[1 - b/(a+b)] =
= (x+y)(a+b-b)/(a+b) = (x+y)•a/(a+b)

:או ככה
x = (x/y) • y = (a/b) • (x+y)•b/(a+b) = (x+y)•a/(a+b)

 

[כביש 22]

אחרי שגמרתי להתעצבן ולקלל את העולם ואשתו

פתאום קלטתי באופן נהיר את המשפט הזה שלך:
"נתון היחס בין שני מספרים, נתון הסכום שלהם, וצריך למצוא אותם."
הבנתי שאתה מדבר על היחס 12/10 (הבסיס חלקי השוק).
ובקשר לסכום התכוונת להיכן שחוצה הזווית נוחת על השוק ומחלק אותה לשניים (שני החלקים יחדיו הם 10. אורך השוק).
ומכאן הצלחתי, ממש לא יאמן, לפתור לבד.
ולפי התוצאה שקיבלתי ניראה שיצא לי טוב.
בכל אופן ההסבר שלך עדיין קשה לי.
אולי כי הוא מופשט בלי מספרים וצריך להתעמק יותר.
מה שאני עשיתי זה לומר שבגלל ש:
DB + DC = 10
יוצא ש:
DB = 10 - DC
ואת
10 - DC
הצבתי במקום DB בשיוויון שנוצר בעזרת חוצה הזווית כלומר פה:
12 : 10 = DC : DB
ואכן הגעתי לבסוף ש-DC שווה ל-
60 : 11
ואז לפי משפט הסינוסים הגעתי לכך ש- AD שווה ל:
48 : (11 * sqrt (2 : 10))
ובמחשבון של גוגל אכן יוצאת התוצאה:
9.75738754

עכשיו אנסה לעבור על האפשרות השנייה.

תודה רבה לך על העזרה והסבלנות

 

[בחשכת הלילה]

דוגמה מספרית להמחשה

אם נקודה מסוימת מחלקת קטע נתון ביחס 3:4, אז אורכי שני הקטעים הם 3/7 ו-4/7 מאורך הקטע כולו.

 

[כביש 22]

מוסיף את החישוב של נוסחת הסינוסים שיהיה:

אנו יודעים כבר את סינוס חצי הזווית (DAC) והוא:
sqrt (2 / 10)
מול מחצית הזווית הזו יש לנו את הצלע CD שמצאנו גם כן:
60 / 11

אנו גם יודעים את סינוס הזווית BCA בעזרת הגדרת סינוס של זוית במשולש ישר זווית שאנו מקבלים אם מורידים אנך מ- B אל בסיס המשולש.
את האנך עצמו אנו מוצאים בעזרת פיתגורס.
הסינוס של הזווית BCA הוא הצלע מול הזווית (האנך שמצאנו) חלקי היתר (השוק של המשולש שהיא 10)
מה שאנו לא יודעים ואת זה צריך למצוא זה את חוצה הזווית AD.
לכן זה אמור להראות כך:
CD / (סינוס חצי הזווית) = AD / (BCA סינוס של)

ט.ל.ח

.

 

[בחשכת הלילה]

אפשרות נוספת

חוצה הזווית מחלק את המשולש לשני משולשים.
במשולש הצמוד לבסיס המשולש המקורי, שתי צלעות ידועות: אחת מהן זה הבסיס השווה 12, והשנייה מתקבלת ממשפט חוצה-הזווית.
מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקוסינוסים לחישוב הצלע השלישית (הקוסינוס כמובן ידוע).