התכנסות במידה שווה של סדרת פונקציות

[LironBar247]

התכנסות במידה שווה של סדרת פונקציות

אני לא מצליחה להוכיח או להפריך האם סדרת הפונקציות הבאה מתכנסת במ"ש או לא.
תוכלו בבקשה לעזור לי?
אני נוטה לחשוב שזה לא נכון, אבל לא הצלחתי למצוא הפרכה מתאימה.

תודה מראש!!!

 

[1ca1]

בבקשה

חישוב מהיר מראה שנקודתית הפונקציה הגבולית היא x*pi/2.
אז נחשב את
zz f(x)-fn(x)=x(pi/2-arctan(nx)) zz
&nbsp
עכשיו נשים לב ש f(x)-fn(x)<=f(n+1)x-fn(x)
zz fm(x)-fn(x)=x(arctan((n+1)x)-arctan(nx)) zz
נשתמש במשפט לגרנז ונקבל כי
zz x(arctan((n+1)x)-arctan(nx)) = x*(1/(1+c^2))*x zz
ונשים לב ש-c בין nx ל-zz (n+1)x zz אז נקבל
zz <=x^2/(1+n^2x^2)) <=1/n^2 zz
&nbsp
ולכן זה דווקא כן מתכנס במ"ש.

 

[טלמון סילבר]

או ככה

:x>0 כאשר
0 < x • (π/2 - arctan(nx)) < x • tan(π/2 - arctan(nx)) = 1/n

 

[חזי נוימן]

או להפעיל זהות שימושית

(0.5pai-arctan(nx)=arctan(1/nx כי nx>0 .

 

[בחשכת הלילה]

היא לא "הופעלה" בהודעה הקודמת?