מה הסדר של המד"ר הלא-לינארית הזו ?

[גדי20152015]

מה הסדר של המד"ר הלא-לינארית הזו ?

1 או אינסוף ?

 

[AnarchistPhilosopher]

אם תפתח את האקספוננט לטור חזקות תקבל חזקות של y'.

לא שיש דרך לפתור את זה.
&nbsp
אז כן, הסדר הוא אינסוף.

 

[עעעערררר]

למה אינסוף?

חזקות של y' זה עדיין מסדר ראשון.

 

[AnarchistPhilosopher]

exp(y') = \sum_0^\infty (y')^n/n!zz ה-zz ליישור.

 

[גדי20152015]

וואלה עערר דווקא צודק

גם אני התבלבלתי חח... הרי הסדר של המד"ר נקבע לפי הסדר הגבוה ביותר של הגזירה, לא של החזקה...

חבל שאין דרך לכתוב מד"ר מסדר אינסופי... דווקא היה יכול להיות מעניין

 

[AnarchistPhilosopher]

נכון, התבלבלתי.

 

[AnarchistPhilosopher]

אתה יכול לכתוב טור כמו שרשמתי רק במקום y'^n נרשום y^zz

אבל אז מתעוררת שאלת התכנסות הטור, לא שזה אי פעם הפריע למתמטיקאים שימושיים עם תורת ההפרעות למשל...
&nbsp
black magic
&nbsp

 

[AnarchistPhilosopher]

למשל, אם הייתה לנו משוואה כזו:

&nbsp
\sum_{n=0}^\infty a_n y^{} = F(x)
&nbsp​

&nbsp
אז אינטגרציה איבר איבר אם זה היה מתכנס היה נותן
&nbsp

a_0 \int y(x) dx + \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} y^{} = \int F(x)dx​

קבוע האינטגרציה נכנס לתוך אחד האינטגרלים נניח זה שבצד ימין.
&nbsp
אני לא רואה איך אפשר להמשיך משם, עוד קוריוז.
&nbsp

 

[AnarchistPhilosopher]

טוב, כדי לפתור את זה צריך גם תנאי התחלה או שפה.

צריך לבחור תנאי התחלה כך שמתקיים:

&nbsp
\sum_{n=0}^\infty a_n y^{}(0) = F(0)​

&nbsp
וזה כבר תלוי לנו בסדרה a_n.
אבל אם למשל מתקיים:

\sum a_n = F(0)​

אז צריך לבחור

y^{}(0) = 1 \forall n \in \mathbb{N}
&nbsp​

&nbsp