2 מעגלים בתוך משולש

[yaronCT3]

2 מעגלים בתוך משולש

הי,

אשמח לעזרה עם השאלה המצורפת. הצלחתי להגיע לזה שקטע המרכזים עובר דרך A ומהווה חוצה צווית, גובה ותיכון, ושהמשיק המשותף למעגלים ניצב לו (ול- BC). אבל שם נתקעתי.

 

[טלמון סילבר]

למשל ככה

 

[טלמון סילבר]

קצת יותר קצר

בקובץ המצורף

 

[טלמון סילבר]

ניסיון לרשום ישירות בלי קובץ WORD

נסמן בסרטוט את הנקודות:

D – אמצע הצלע ("הבסיס") BC.
G – נקודת ההשקה של שני המעגלים.

נסרטט ישר העובר דרך נקודה G ומקביל לישר BC.
ישר זה חותך את השוקיים AB ו-AC בנקודות S ו-T.

נסמן את אורכיהם של מספר קטעים:

|AB| = |AC| = b
|BC| = a
|AD| = H = sqrt(b² - a²/4)

המעגל הקטן הנתון בתרגיל הוא המעגל החסום במשולש AST.
מכיוון שמשולש זה דומה למשולש ABC, היחס בין אורכי רדיוסי המעגלים, החסומים בהם, שווה ליחס בין צלעותיהם המתאימות (והגבהים המתאימים):

r / R = |AG| / |AD| = (|AD| - |GD|) / |AD| = (H – 2R) / H = 1 – 2R/H

ומכאן:

H = 2R² / (R – r)
H² = 4R4 / (R – r)²

שטח המשולש ABC לפי מחצית מכפלת היקף ברדיוס המעגל החסום, ולפי מחצית מכפלת גובה ובסיס:

(2b + a) • R / 2 = a • H / 2
(2b + a) / a = H / R
2b/a + 1 = 2R / (R – r)
2b/a = (R + r) / (R – r)
b = (a/2) • (R + r) / (R – r)

H² = b² - a²/4 = (a²4) • ((R + r)²/(R – r)² - 1) = a²Rr / (R – r)²

a²Rr / (R – r)² = 4R4 / (R – r)²
a²r = 4R³
a = 2R • sqrt(R/r)
b = R • sqrt(R/r) • (R + r) / (R – r)

סעיף ב'.

a = b
2R • sqrt(R/r) = R • sqrt(R/r) • (R + r) / (R – r)
2 = (R/r + 1) (R/r – 1)
2•(R/r – 1) = R/r + 1

R/r = 3

 

[yaronCT3]

תודה!

האם חישוב שטח משולש לפי מחצית מכפלת היקף ברדיוס המעגל החסום הוא משהו שניתן להשתמש בו בבי"ס?

 

[טלמון סילבר]

אענה לשאלה בשאלה: האם

קשה להוכיח את זה?