חדוא 2ת,אינטגרל משטחי סוג 2, התאפסות הנורמל עבור פרמטריזציה

[manu10]

חדוא 2ת,אינטגרל משטחי סוג 2, התאפסות הנורמל עבור פרמטריזציה

בשאלה , מבקשים לבחור את הנורמל שיהיה בכיוון Z עבור פרמטריזציה בנקדה (4-,0,0) , אך בנקודה הזאת יוצא שלא קיים וקטור נורמל למשטח עבור אותה הפרמטריזציה, למרות שידוע שקיים משיק למשטח באותה הנקודה, כי המשטח הוא פונקציה דיפרנציאבילית באותה הנקודה.
מערכת המתנט כותבת את הערה המופיעה בתמונה.

אשמח אם משהו יכול להתייחס לשאלות בהערה.
מה זה יעזור אם אני אסתכל על כיוון הנורמל בסביבת הנקודה? ומה באמת קורה כאן?

 

[1ca1]

בגדול

נעשה את המקרה הדו-מימדי של דיסק, הוא מכיל את כל הרעיונות.
x^2+y^2=r^2
אפשר לתת לזה פרמטריזציה ע"י r,t בצורת f(r,t)=(rcost,rsint) zz
עכשיו בוא ניזכר לרגע מה זה לתת מערכת קוארדינטות.
אני צריך לתת לך סביבה פתוחה ב-R^2, ופונקציה חח"ע, רציפה (ועדיף גם גזירה) לתוך היריעה שלך, בשביל לתאר את הקוארדינטות שם על היריעה.
כאשר r=0, הפונקציה לא חח"ע (כלומר, לראשית הצירים, אין משמעות בהצגה פולרית לזווית שלה).
ולכן, בסביבה קטנה של 0, הצגה פולרית היא לא באמת "מערכת קוארדינטות". אבל זה ייחודי רק לראשית הצירים, כל נקודה אחרת היא בסדר, ולכן למשל לצרכי אינטגרציה, אין בעיה להשתמש בהצבות פולריות.
&nbsp
אצלך קורה מקרה דומה, רק ש"ראשית הצירים" מוחלף בקוטב הדרומי.
אתה יכול לעשות את החישובים בעצמך ששאלו אותך ולבדוק בעצמך.
&nbsp
ואפשר להראות - שבשביל לבנות אטלס קוארדינטות לכדור, צריך לפחות 2 כיסויים (ובמקרה של כיסוי פולרי כזה, כל אחד מהם יכיל קוטב אחד אך לא את השני, תסתכל למשל באיור על הכריכה של הספר של דו-קארמו - http://www.amazon.com/Riemannian-Geometry-Manfredo-P-Carmo/dp/0817634908 ).
&nbsp