שאלת הבנה פשוטה - אינטגרל מסויים

[king iverson]

שאלת הבנה פשוטה - אינטגרל מסויים

היי
לכל הידוע לי, לפני פתירת אינטגרל מסויים, רצוי לבצע שרטוט של הפונקציה\הפונקציות כדי להבין מתי הן נחתכות עם עצמן, עם הצירים ומתי הן גדולות וקטנות מאפס.
האם השרטוט הוא של הפונקציות לפני ביצוע האינטגרל או לאחריו?
לדוגמא ואני צריך לחשב את האינטגרל של lnx בין e לחצי. האם עליי לשרטט את lnx או שמא את האינטגרל שלה xlnx-x?

תודה רבה!

 

[חזי נוימן]

בדרך כלל "הכלל הוא"

אתה מצייר את האינטגרנד ואתה עושה זאת לפני ביצוע החישוב. כל זאת על מנת שתבין כללית מה בערך אתה מחשב.

 

[AnarchistPhilosopher]

ואם הוא מחשב אינטגרל של חיתוך בין ספירה וטורוס ממימד כלשהו.

ציור לא יעזור במיוחד, כמובן שזה תלוי במרצה ובמתרגל האחראי.
&nbsp

 

[1ca1]

אני לא מבין איך התשובה הזו תרמה לדיון

1. ספירה וטורוס לרוב לא נחתכים באיזשהי צורה "נורמלית".
2. אייברסון ביקש להבין כנראה אינטגרל של משתנה אחד, שם די ברור מה הולך.
3. אני מלמד את הסטודנטים שלי במת"פ/אינפי 3 גם לנסות לצייר (לפחות סכמטית) בשביל לדעת מה לעשות. מעטים האנשים (גם פרופסורים) שמסוגלים למשל להחליף סדר אינטגרציה באינטגרלים מרובים ללא ציור.

 

[AnarchistPhilosopher]

אני חושב שיש דרכים אלגבריות לאיך לחשב אינטגרלים במימד גבוה

מ-3.
&nbsp
אני די בטוח שבתכנות כמו מתמטיקה או מייפל אפשר לחשב כאלה אינטגרלים, ואם המחשב יכול, וכידוע לך מי מתכנת התכנה, אז גם אנשים רגילים יכולים.
&nbsp
זה כמו שמהנדסי חשמל, מלמדים אותם במבוא לבקרה איך לשרטט עקום נייקוויסט למרות שברור שאין צורך לדעת את זה כי במאטלב זה כבר מוכן.
&nbsp
&nbsp
&nbsp

 

[1ca1]

עוד פעם, מידע לא רלוונטי

1. יש דרכים למקרים מאוד ספציפיים, שאתה מבקש אינטגרל של פונקציה על קובייה (או לכל היותר, מה שנקרא תחום נורמלי, תחום שחסום כל פעם ע"י םאות שקשורות במידע ממימדים פחותים, דמיין שני קווים אנכיים ביחס לציר ה-x, וביניהם שני גרפים של פונקציות f(x),g(x), ואז אפשר לעשות אינטגרל על תחום כזה דרך אינטגרלים חוזרים, ברקורסיה).
&nbsp
2. מאטלאב עושה קירוב נומרי (יש לה חבילה סימבולית שמבוססת על מייפל, והיא לא עובדת לדברים מורכבים כאלו, היא לא מסוגלת לחשב בעצמה, רק לתת קדומות).
בכל אופן, מאטלאב מטפל גם נומרית רק עד 3 מימדים "מהקופסא".
http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/integral3.html
בכדי שיאכל דברים מתקדמים יותר, צריך להכין אותם בעצמך דרך m-file.
כך גם אפשר לעבוד עם תחומים מורכבים (קודם בודקים שהנקודה בתחום, אחרת הפונקציה תחזיר אפס, ואז לעשות אינטגרציה על תיבה גדולה שחוסמת את התחום, ההקירוב הנומרי דרך הטרפזים יעבוד בעצמו).
&nbsp
3. חלק ניכר מהמתכנתים של מאטלאב הם בעלי תארים מתקדמים במדעים.
&nbsp
4. לא יודע מה זה עקום נייקוויסט ואת הקשר להנדסת חשמל, מידע לא רלוונטי לשאלה.
גם אם מדובר באינטגרציה דו-מימדית או אפילו תלת מימדית (שזה לא מה ששואל השאלה שאל, אלא אתה החלטת פתאום לדחוף לדיון, הוא דיבר רק על אינטגרל רגיל חד-מימדי), שמאטלאב יודעת לחשב, יש טעם לחישוב ישיר בידיים (ולו רק בשביל לחשב את הערך המדוייק של גאוסיאן) למטרות תרגול והבנה של החומר, וגם ללמד את התלמידים כמה טריקים ולחזור איתם על שיטות אינטגרציה.

 

[AnarchistPhilosopher]

חשבתי שמטרת הפורום היא גם לפתח דיון קצת מעבר

בכל אופן, בשביל אינטגרציה חד מימדית אפשר להסתדר גם בלי שרטוט.
&nbsp
למשל אם מבקשים את השטח בין x=0 ו-x=1 בין הישר y=x ו y=x^3 אז פותרים את המשוואה x^3=x ומקבלים 3 תשובות שרק שתיים קבילות מהתנאים שהצבנו. ומחשבים את האינטגרל של ההפרש בין הפונקציות בתחום בין 0 ואחד. (לוקחים ערך מוחלט של התוצאה כיוון שמדובר בשטח).
&nbsp
&nbsp
באותה צורה אפשר גם לפתור עבור בעיות יותר מסובכות בחד מימד.
&nbsp
לשואל זה אולי לא עוזר, אבל לא הגבתי ישירות לשאול השאלה כי אם לחזי.
&nbsp
קצת דיונים מעבר לרמה של בעיות במבחן זה גם מטרתו של הפורום... נראה לי.
&nbsp

 

[1ca1]

אפשר לפתח, כל עוד זה רלוונטי

תסביר לי איך מהשאלה של השואל המקורי, והתשובה של חזי, התבדרת והגעת לאינטגרלים בכמה מימדים, ספרות וטורוסים?
&nbsp
אתה מוזמן לפתוח דיון על דרכי חישוב לאינטגרלים רב-מימדים, זה דיון מעניין ואחר.

 

[israelmiv]

אתה משרטט את הפונקציה ולא את האינטגרל

מכיון שאתה רוצה לחשב את השטח שבין גרף הפונקציה לציר ה x , והשרטוט עוזר לך לראות מהו השטח הזה, ומה מגביל אותו מכל כיוון.
&nbsp
(התשובה שלי נכונה ברמה תיכונית, אני לא מתמצא מעבר לזה)