זה נכון רק בחבורות סופיות
הרעיון הוא כמובן להשתמש בסדרת ז'ורדן-הולדר.
הגורם הלפני-אחרון G^(n-1) הוא אבלי (החבורה הנגזרת שלו היא {e}).
 
עכשיו הרעיון איך להראות לעזאזל שהוא נורמלי.
למעשה, יותר חזק מזה, החבורה הזו היא ת"ח אופיינית, אבל אני אראה כאן רק נורמליות.
טוב נניח יש לך את aga^-1 ונניח ש-a ב-G^(k) כאשר k הוא המקסימלי.
אז ניזכר ש-g הוא בעצם איבר בנגזרת של G^(n-2), ולכן מורכב מקומוטטרים של G^(n-2).
וכך הלאה.
בסופו של דבר, אפשר לכתוב את g כמכפלה של n-k קומוטטורים "מורכבים", כלומר קומוטטור של קומוטטור של קוממוטטור וכו', של איברים ב-G^(k).
עכשיו להצמיד קומוטטור
zz a[x,y]a^-1 zz
זה בעצם
zz [axa^-1,aya^-1] zz
וכך ההצמדה בעצם מחלחלת לה לאיברים בתוך הקומוטטורים גם בהרכבות.
בגלל הנורמליות של G^(k+1) ב-G^(k), עדיין תקבלי משהו שהוא "שרשור" של המון קומוטטורים מורכבים (באותו אורך הרכבה!!!) של איברים מ-G^(k+1) מוצמדים ב-a.
אבל בגלל הנורמליות, תקבלי שאלה בעצם איברים אחרים ב-G^(k+1), ועדיין תקבלי שרשור ארוך של קומוטטורים מורכבים (מאותו אורך הרכבה!!!).
בגלל ההגדרה של החבורה הנגזרת, ברגע שאת משורשרת כך, תקבלי אוטומטית שאת בחבורה הנגזרת של הנגזרת של הנגזרת... ובקיצור תקבלי שאת ב-G^(n-1).
 
ההוכחה על האופייניות של החבורה הזאת יחסית דומה, אוטומורפיזמים מכבדים קומוטטורים ומבנה כפלי, זה כל מה שצריך כאן.
