קומבינטוריקה..צריך את עזרתכם

[lalal6]

קומבינטוריקה..צריך את עזרתכם

עליי למצוא את מספר הפתרונות השלמים האי שליליים של המשוואה:

x1 + x2 +...+x5=8

בתנאי ש- 3<=x1 ו- 2<=x2.

מגדירים משתנים חדשים:

y1=x1-3
y2=x2-2

עלינו לפתור את המשוואה : zz y1+y2+x3+x4+x5=3 zz כאשר y1,y2,x3,x4,x5>=0.


למה הבעיה האחרונה, שקולה לבעיה המקורית?

ואם אפשר גם הסבר כללי על שאלות מהסוג הזה..כי אני שם לב שהן חוזרות על עצמן עם ווריאציות מעט שונות..

תודה לעונים.

 

[lalal6]

הבהרה

בהודעה הקודמת שאלתי למה המשוואה הראשונה שקולה לקודמת. עוד לפני זה, אני לא מבין איך הגיעו למשוואה החדשה עם y1,y2, ולמה הגיעו אליה.

 

[אפלטוניסט]

תכלס

לפני אפילו שקופצים למסקנות מסובכות יותר

x1>=3 אמ"מ x1-3>=0

 

[FineSilverMan]

המממ

נתחיל רק עם X1 ו-X2.
ניצור טבלה דו מימדית שמציגה את הסכום של שניהם.
נרחיב את הטבלה לשאר המשתנים.

https://db.tt/mrFPQmq0

האמת שזו דוגמה יפה להיפר-קיוב של פרופ' ריפס
https://db.tt/lDqivKMi

אנסה לצייר משהו דומה עם 8.

 

[FineSilverMan]

משהו כזה

רק צריך להכין גם את x5...

 

[lalal6]

קצת קשה לי להבין מהשרטוטים האלה

ובלינק שנתת בהודעה הקודמת, זה נפתח לי בצורה שקשה להבין מה כתוב שם.

 

[FineSilverMan]

אז תחשוב על זה כך

יש לך 5 מחוגות שאתה יכול לסובב. אם אתה מוסיף 1 לאחת המחוגות, מחוגה אחרת יורדת ב-1.
הסכום של המחוגות חייב להיות 8.
כאשר המחוגה הראשונה מתחילה מ-3 והמחוגה השניה מתחילה מ-2.

 

[סיגמה535]

פשוט לפי ההגדרות

אתה פשוט צריך להבין למה אתה מתכוון כשאתה אומר "בעיות שקולות".
מה שמעניין אותנו הוא מספר הפתרונות למשוואה.
אז מבחינתנו בעיות הן שקולות אם מספר הפתרונות של האחת שווה למספר הפתרונות של האחרת.
נסמן ב A את קבוצת הפתרונות של המשוואה הראשונה, וב B את קבוצת הפתרונות של השנייה.

איך נראה שב A וב B יש אותו מספר איברים?

 

[lalal6]

מניח שע"י פונקציה חד-חד-ערכית ועל.

 

[סיגמה535]

נכון מאד.

הבנייה של המשוואה השנייה מתוך הראשונה בעצם מגדירה פונקציה כזו. לכן המשוואות "שקולות".

 

[lalal6]

זה בדיוק מה שאני לא מבין. למה היא מגדירה

פונקציה כזו?

ולמה מגדירים את המשתנים החדשים כפי שמגדירים.

 

[סיגמה535]

מכיוון

שאם (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) פתרון עבור הבעיה הראשונה אז (x_1-3,x_2-2,x_3,x_4,x_5) פתרון עבור הבעיה השנייה.
ולהיפך. אם (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) פתרון למשוואה השנייה אז (x_1+3,x_2+2,x_3,x_4,x_5) פתרון עבור הבעיה הראשונה.
ההתאמות הללו מגדירות (כדאי לבדוק זאת פעם אחת, אבל זה לא קשה) פונקציה חד חד ערכית ועל.
הסימון ב y הוא רק לנוחות הקריאה.