פונקציה עולה מונוטונית חלש/חזק

[זיו תל מונד]

פונקציה עולה מונוטונית חלש/חזק

המרצה כתב לנו הגדרה כזאת:
f: A->B
f עולה מונוטונית חלש אם לכל y שייך לA, קיים x כך שלx>=y מתקיים f(x)>=f.
f עולה מונוטונית חזק אם לכל y שייך לA, קיים x כך שלx>y מתקיים f(x)>f.
לפי ההיגיון שלי הוא טועה וצריך להיות כתוב ״לכל x״ ולא ״קיים x״, אבל זה רק השיעור הראשון שלי באוניברסיטה אז מי יודע.
מה דעתכם?

 

[FineSilverMan]

לא יכול להיות "לכל"

אם המשפט היה "לכל y, לכל x", אז אין משמעות ל"עולה"/"יורדת".
כלומר אתה יכול לבחור 1 ו-2 או 2 ו-1 עבור x ו-y בהתאמה.

וזה גם לא נשמע טוב... "לכל y קיים x" נשמע לי סביר יותר. אבל אולי זה מתוך הרגל.

 

[זיו תל מונד]

תגובה

הכוונה שלי היא לכל x גדול מy.
אם יש נגיד פונקציה שנותנת ל1, 2, 3 את הערכים 2, 1, 4 (לפי הסדר מימין לשמאל) אז זה מתאים להגדרה של עולה חזק: לכל y קיים x כך שלx>y מתקיים f(x)>f.
למשל: עבור y=1 קיים x=3 כך ש4>2, אז היא מתאימה להגדרה והיא עולה, אבל זה לא נכון (לפי ההיגיון של המילה עולה) כי זה צריך להתקיים לכל איקס שגדול מ1, גם לx=2.

 

[FineSilverMan]

לא

מכיוון שהפונקציה עוברת בנקודה (1,2) ובנקודה (2,1), אז יש לך מקרה שבו x>y אבל f(x)<f zzz ולכן הפונקציה יורדת בקטע הזה ולכן היא לא מונוטונית עולה.

 

[זיו תל מונד]

הכוונה ברורה לי, אבל תסתכל על ההגדרה

ההגדרה שכתבתי בהודעה הראשונה חלה על הפונקציה שכתבתי, לכן היא שגויה ובמקום ״קיים x שלx>y...״ צריך להגיד ״לכל x>y", אחרת גם הפונקציה הזאת תחשב עולה למרות שהיא לא.

 

[עעעערררר]

אתה צודק לחלוטין

שים לב גם שצריך לדייק בניסוח: במקום להגיד "לx>=y מתקיים f(x)>=f", עדיף לומר "אם x>=y אז f(x)>=f".
בהגדרה שניתנה על ידי המרצה שלך, אפשר פשוט לבחור x שקטן מ-y, ואז הטענה מתקיימת באופן ריק (כמובן, אם A חסום, צריך להסתבך קצת יותר).

הרבה פעמים גם מקצרים, ואומרים "לכל x ו-y". שים לב שסדר כמתים הוא חשוב, והאמירות "לכל x קיים y" ו-"קיים y כך שלכל x" הן שונות לחלוטין, אך כאשר אלו שני כמתים מאותו סוג, ניתן להחליף ביניהם, ולכן אפשר לקצר כך.

 

[זיו תל מונד]

תודה

אשב את תשומת ליבו לזה בשיעור הבא.

 

[FineSilverMan]

טוב, במקרה הזה זה לא משנה

אבל יש מקרים שאי אפשר להחליף "קיים" ב"לכל". בהמשך אתה תרצה שלכל משתנה אחד, המשתנה השני יהיה ביחס מסויים אליו.

למשל:
לכל אפסילון גדול מאפס, קיים דלתא גדול מאפס כך שלכל x ממשי ו-a נקודת העניין שלנו, אז אם |x-a|<דלתא, אז |f(x)-f(a)|<אפסילון.

במקרה הזה אתה לא יכול להחליף את "קיים דלתא", ב"לכל דלתא", כי אז אין בדיקה באמת...

 

[עעעערררר]

גם במקרה הזה זה משנה

אי אפשר להחליף, והמרצה שלו טעה והחליף.

 

[FineSilverMan]

מה אי אפשר להחליף?

"f עולה מונוטונית חלש אם לכל y שייך לA, קיים x..." זה המשפט המקורי.
זיו חשב שצריך להיות:
"f עולה מונוטונית חלש אם לכל x ו-y כך ש x>y... "
ואני לא רואה בעיה עם זה.
כלומר, סתירת המשפט היא ע"י מציאת x ו-y שלא מקיימים את זה. קרי עבור x>y אז f(x)<f zzz ואז הפונקציה לא מונוטונית עולה.

 

[אפלטוניסט]

הבעיה היא

שאז אתה לא "תופס" את המשמעות האמיתית של פונקציה עולה .

מפני שמספיק שלכל y אני אמצא x אחד שהוא גדול ממנו ומקיים את התנאי , אז תוכל לקרוא לפונקציה "מונוטונית עולה " בעוד שיכולים להיות מספר כלשהו של ערכים גדולים מ y שעבורם התנאי לא מתקיים .

 

[FineSilverMan]

שאז?

אבל צריך ללכת בכיוון ההפוך. אם מצאת x שגדול ממנו ועבורו f(x)<f, אז הפונקציה לא מונוטונית עולה.

מספיק להסתכל על פונקציה מהצורה:
f(x)=x עבור x לא שלם
f(x)=1 עבור x שלם.
אי אפשר להגיד שהפונקציה הזו מונוטונית.

 

[עעעערררר]

המשפט האחרון שלך נכון

סתירת המשפט היא ע"י מציאת x,y שלא מקיימים את זה. כלומר, התנאי צריך להיות לכל x ו-y.

אם אומרים "לכל y קיים x ...", אז מציאת x,y שלא מקיימים את ההמשך, לא סותרת את הטענה. הרי יכול להיות ש-x אחר יעבוד עבור אותו y.

 

[FineSilverMan]

לא מסכים עם זה

לא משנה לנו ש-x אחר כן יעבוד עבור אותו y, הפונקציה עצמה לא מונוטונית עולה.
תחשוב על f(x)=x אבל שבאמצע יש "גל" יורד, כך שהוא נמוך מהערכים שהיו לפניו. לא משנה שלאחר הגל, הפונקציה חוזרת לעלות, באופן כללי היא לא מונוטונית עולה.

 

[זיו תל מונד]

אתה מתווכח על הדבר הלא נכון

נכון, הפונקציה צריכה לעלות תמיד, אבל אם אומרים ״לכל y קיים x..." אז זה לא מספיק. צריך שלכל y כל x שגדול ממנו יביא ערך גדול יותר של הפונקציה בשביל שהיא תעלה באמת (ולא שיהיה קיים x כזה, אלא שזה יתקיים לכל x גדול מy, כי אם מספיק רק ״קיים״ אז הפונקציה שתיארת תחשב עולה למרות שהיא לא).

 

[FineSilverMan]

טוב,

ממה שלמדתי, השלילה של "לכל y קיים x..." היא שיש x כלשהו יש y שעבורם f(x)<f (כאשר x>y). כלומר מספיק מקרה אחד שעבורו הפונקציה לא עולה ואז היא לא מונוטונית עולה.

בדרך אחרת, הפונקציה מונוטונית כל עוד הנגזרת שלה גדולה מאפס (או שווה עבור חלשה)
כלומר אם ניקח כל שתי נקודות x>y, השיפוע ביניהן צריך להיות חיובי.

טוב, אני כבר לא בטוח בזה. לפי מיזלר, פונקציה מונוטונית עולה היא פונקציה שעבור x2>x1 אז f(x1)<f(x2) מבלי להכנס ל"כל" או "יש".

לא זכור לי מקרה אחד שבו מדברים על "לכל x קיים y" ומדברים על y ספציפי. כלומר פונקציה שהיא תמיד 0 מלבד בנקודה אחת שהיא ערך אחר, ואז נגיד שהיא מונוטונית ביחס לערך הזה... זה פשוט לא עובד כך.
כפי שכתבתי קודם, אני מוצא הקבלה בין הניסוח בתחילת השרשור לבין הניסוח של רציפות, או מה שזה היה שהבאתי קודם.

 

[עעעערררר]

ובכן

אתה כותב 'השלילה של "לכל y קיים x..." היא שיש x כלשהו יש y '.
זה לא נכון.

 

[FineSilverMan]

אז מה כן נכון?

אני לא רואה בעיה מהותית לכתוב "לכל x קיים y כך שעבור y>x מתקיים f(x)<f zzz ופונקציה כזו תקרא מונוטונית עולה ממש".

אתה לא יכול להביא פונקציה כלשהי, לטעון שהיא מונוטונית עולה ממש ואז לסתור את ההגדרה הזו.
כלומר, אם תביא פונקציה כזו, למשל שעוברת ב-(1,1) ואז ב-(2,0), היא לא עונה על ההגדרה.
כל עוד יש נקודה (x0,f(x0)) כך שעבורה קיימת נקודה נוספת (x0+a,f(x0+a) כך ש: a>0 וגם f(x0+a)>f(x0), אותי זה מספק.
זה לא ש-a הוא קבוע. הוא משתנה חיובי.

הבעיה היחידה עם זה היא כאשר הפונקציה לא רציפה.
נניח:
f(x)=x עבור x אי רציונלי
f(x) לא מוגדר עבור x רציונלי.

עבור כל שני מספרים אי רציונליים, הפונקציה מונוטונית עולה.

 

[עעעערררר]

השלילה הנכונה היא

"קיים y, כך שלכל x לא מתקיים..."

בהמשך ההודעה, אתה מגבב מושגים שונים. אבל לדוגמא שלך:

תהי f הפונקציה שעבור 2 היא מחזירה 0, ועבור x שאינו 2, היא מחזירה x.
הפונקציה הזו עוברת ב-(1,1) וב-(2,0), והיא עונה על ההגדרה שהבאת, למרות שברור שבכל הגדרה סבירה, היא לא עולה.
(אפשר גם לתת דוגמאות רציפות. אין לי כוח לזה עכשיו)

אתה כותב "כל עוד יש נקודה (x0,f(x0)) כך שעבורה קיימת נקודה נוספת (x0+a,f(x0+a) כך ש: a>0 וגם f(x0+a)>f(x0), אותי זה מספק. "
הרי יש נקודה כזו: (3,3).

ואין דבר כזה "משתנה". כל מספר, לאחר שנבחר, הוא קבוע. אבל אם היית אומר "לכל נקודה נוספת" במקום "קיימת נקודה נוספת", המשמעות של מה שאמרת הייתה יותר דומה לזה (והטענה עדיין הייתה שגויה).

 

[FineSilverMan]

טוב, זה ממש לא יותר מדי משנה

אבל כאשר אני כותב sin(90*k), לצורך העניין, אני מתכוון ל-90, 180 וכך הלאה, כי זו פונקציה מחזורית שמקבלת אותם ערכים בכל מחזור.

עבור הפונקציה הזו, אם נסתכל על 1 ועל 2, הרי ברור שהיא יורדת ולכן היא לא מונוטונית עולה.