חידה בגיאומטריה

[iMeTaVDR]

חידה בגיאומטריה

נתון: ΔABC ישר זוית (ABC=90°∠ׂׂ), כך שללא הגבלת הכלליות מתקיים AB≥BC. נבנה על הניצבים AB ו-BC את הריבועים ABFG ו-BCDE בהתאמה כלפי חוץ. נבנה את הקטעים AD ו-CG כך ש- AD∩BC=Q, CG∩AB=P ו- AD∩CG=K. נבנה את ישר BK כך שיחתוך את היתר AC בנקודה M. נבנה את הקטעים PQ, MP ו-MQ לכדי ΔPMQ.

בטאו את היחס בין שטחי ΔABC ו-ΔPMQ כפונקציה אחת של הממוצע החשבוני, הממוצע הגיאומטרי, הממוצע ההרמוני וממוצע הריבועים של ניצבי ΔABC .

 

[iMeTaVDR]

הבהרה:

כשכתבתי "ממוצע הריבועים", התכוונתי לשורש ממוצע הריבועים (RMS).

 

[עעעערררר]

אחרי הרבה הנדסה אנליטית...

יוצא לי (עד כדי טעות חישוב), ריבוע הממוצע הגיאומטרי, חלקי (4 * ממוצע הריבועים)

 

[iMeTaVDR]

אני קיבלתי משהו קצת אחר.

 

[עריסטו]

שים לב ש- GM^2=HM*AM

 

[iMeTaVDR]

זה נכון, אבל לדעתי עדיין לא מדובר באותו ביטוי

 

[עעעערררר]

למה לא?

ואגב, באופן טיפה יותר כללי:
אם מעבירים במשולש שלושה חותכים שעוברים בנקודה אחת, הם מחלקים את הצלעות שמולם ביחסים שאפשר לבטא כ- a:b,b:c,c:a (כאשר a הוא המשקל של הקטעים שיוצאים מ-B ומ-C לכיוון A). המשקלים a,b,c הם גם משקלי נקודת המפגש של שלושת החותכים, כצירוף קמור של קודקודי המשולש.

אם זוכרים ששטח משולש הוא מחצית מכפלת שתי צלעות, כפול סינוס הזווית שביניהן, קל לראות שהיחס בין שטחי APM ו-ABC הוא bc/(a+b)(a+c)zzz.
באופן דומה, מחשבים את שטחי BPQ ו-CMQ, ומחסירים הכל מ-ABC. מקבלים שהיחס בין שטחי MPQ ו-ABC הוא 2abc/(a+b)(a+c)(b+c)zzz.

במקרה הספיציפי, מיקום הנקודה Q אומר כי b/c=BC/AB, ומיקום הנקודה P אומר כי b/a=AB/BC. אם מציבים תוצאות אלו בביטוי הקודם, מקבלים את התשובה.

 

[iMeTaVDR]

אני לא רואה איך הביטוי שלך זהה לביטוי שלי

כשכתבתי "SM", התכוונתי ל-שורש ממוצע הריבועים. אבל זה לא מסביר את ההבדל. תוכל להראות לי?

 

[עעעערררר]

אכן, הייתה לי טעות כתיב בהודעתי הראשונה

התכוונתי לכתוב "הממוצע ההרמוני", ולא "הממוצע הגיאומטרי".

כעת זה בסדר?

 

[iMeTaVDR]

יפה, תודה.

 

[iMeTaVDR]

בעיית המשך (משהו טוב

)

נתון: ΔABC ישר זוית (BAC=90°∠ׂׂ). נבנה על צלעות ΔABC ריבועים כלפי חוץ ונסמן את מרכזיהם כ-O₂, O₁ ו-O₃ (ראו תמונה). נחבר את מרכזי הריבועי האחרונים בקטעים לכדי ΔO₁O₂O₃. נבנה על צלעות ΔO₁O₂O₃ ריבועים כלפי חוץ ונסמן את מרכזיהם כ-O₅, O₄ ו-O₆ (ראו תמונה). נחבר את מרכזי הריבועים האחרונים בקטעים לכדי ΔO₄O₅O₆.

בטאו את שטח ΔO₄O₅O₆ באמצעות ניצבי ΔABC.

רמזים למטה:



























































1. היעזרו בבניה ובפתרון של הבעיה בראש השרשור.
2. הוכיחו את המשפט: ישר העובר דרך קודקוד הזוית הישרה של משולש ישר זוית חוצה את הזוית הישרה אם ורק אם הוא עובר דרך מרכז הריבוע הבנוי על היתר כלפי חוץ (צלע הריבוע שווה ליתר). בנוסף, בטאו את אורך הקטע המחבר את קודקוד הזוית הישרה למרכז הריבוע הבנוי על היתר, בעזרת ניצבי המשולש.

 

[iMeTaVDR]

תשובה

 

[במנו]

זה נראה כמו קסם

אני לא מעז לנסות לפתור.

 

[iMeTaVDR]

צריך להיות

16(a+b)^4