קבוצות , עזרה בהוכחה .

[אפלטוניסט]

קבוצות , עזרה בהוכחה .

הוכח כי בקבוצה סופית, סדורה חלקית יש לפחות איבר אחד מינימאלי.

אז אני אומר נניח בשלילה שאין איבר מינימאלי .
יהיה a איבר בקבוצה . a אינו מינימאלי ולכן קיים a1
a1=!a כך ש a1<=a .

אבל גם a1 אינו מינימאלי ולכן קיים a2 שאינו שווה ל a1 כך ש a2<=a1
וכך הלאה . נוצרת לנו סדרה כזו |הקוד|... an+1<=an<=an-1<=...<=a1<=a....|סקוד|

למה אי אפשר להסיק שזו סדרה אינסופית ולכן סתירה ? כי זו לא ההגדרה של קבוצה אינסופית?

 

[cookie man1]

באופן כללי רעיון ההוכחה נראה תקין

אם ההגדרות איתם אתה עובד בקורס לא מאפשרות לך לדבר על קבוצות סופיות ואינסופיות באופן זה, אז אתה יכול לקחת את אותו הרעיון ולבנות הוכחה באינדוקציה.

 

[1ca1]

אתה צודק כעקרון

אבל אם הייתי המרצה (בקורס כמו תורת הקבוצות), הייתי מבקש ממך - תוכיח שהקבוצה היא אינסופית עכשיו, כלומר תראה תת-קבוצה ממש שאיזומורפית לה וכו'.

דרך אחת פשוטה, שנראה לי לזה התכוון מי שהגיב, היא לעבוד באינדוקציה על גודל הקבוצה.

תבחר איבר.
הקטנת את גודל הקבוצה.
התת-קבוצה בלי האיבר, עדיין סדור חלקית, וכמובן סופית.
יש לה איבר מינימלי.
עכשיו משווים אותו (אם אפשר) עם האיבר החדש, אם הקודם עדיין מינימלי, סיימת. אם אי אפשר להשוות, סיימת. אם החדש קטן יותר, אז החדש מינימלי כללי (צריך להשתמש בטרנזיטיביות).

דרך אחרת, שאני יותר אוהב, כי היא יותר מחשביסטית, פשוט לבנות עץ השוואות.
תבחר איבר.
יש לך קבוצה עם פחות 1 איברים.
תבחר איבר נוסף.
אם האיבר לא ניתן להשוות עם האיבר הנתון, תפתח עץ חדש.
אחרת, תוסיף אותו לעץ הישן (ותחבר בקו שיראה שהאיבר החדש קטן יותר).
עכשיו תמשיך כך.
בסוף התהליך (שיסתיים, בכל שלב אתה מקטין ממש ב-1 את גודל הקבוצה, בסוף תישאר עם הקבוצה הריקה).
יהיה לך אוסף של עצי השוואות.
תבחר את העץ האהוב עליך, וקח את אחד העלים שלו מלמטה.
משאיר לך להראות שמה שהתקבל הוא אכן מינימלי.

 

[אפלטוניסט]

ההוכחה שבספר

בהוכחה שנותנים בספר נאמר כי בגלל שמספר אברי הקבוצה הוא סופי אזיי

חייבים להיות ביניהם שני איברים שווים .. ( אבל למה ?)

 

[Blue Beetle]

הטענה כלשונה לא נכונה

כי גם הקבוצה הריקה היא סופית.

לקבוצה לא ריקה הטענה מובנת מאליה, אבל אני מניח שזה תרגיל בקורס במתמטיקה בדידה או מבוא לתורת הקבוצות אז צריך להשתמש בהגדרות.
אני הייתי משתמש באינדוקציה על מספר אברי הקבוצה.