שאלה קטנה לגבי יחסים

[nir9696]

שאלה קטנה לגבי יחסים

הסתבכתי קצת בהוכחת סעיף ג' בשאלה המצורפת. אני מצליח להבין איך מגיעים לשיווין, אבל לא מצליח להוכיח אותו (פורמאלית)...
אשמח לעזרה

 

[סיגמה535]

שתי נקודות להתחיל מהן.

קודם כל, הכלה אחת היא מיידית.

1. נתחיל ממה שמובן לך אינטואיטיבית. למה לדעתך מתקיים שוויון?

2. עבוד עם ההגדרות וענה על השאלה מתי זוג (x,y) שייך ל DD^-1?

 

[nir9696]

תשובות

קודם כל לגבי האינטואיציה: היחס D מכיל את כל הזוגות הסדורים שמימין לאלכסון + האלכסון עצמו (Ia - כלומר רפלקסיביות). D^-1 לעומת זאת מכיל את כל הזוגות הסדורים שמשמאל לאלכסון + האלכסון עצמו (Ia - כלומר רפלקסיביות). לכן מכפלת שני יחסים אלה נותנת את צד ימין של האלכסון + צד שמאל של האלכסון + האלכסון עצמו = AXA [שכן Ia מוכל בשני היחסים ולכן הוא "מעתיק" הן את D והן את D^-1 לכדי היחס המלא).

לגבי השלב הפורמאלי, אני עדיין מסתבך... אני יכול לומר כי הזוג (x,y) שייך ל-DD^-1 אם x מחלק של y או אם y מחלק של x. אני לא מצליח להמשיך מפה...

 

[סיגמה535]

תשובה

האמת, שלא כל כך הבנתי את עניין האלכסון
בכל מקרה, אם R ו S יחסים מעל קבוצה A, מתי זוג (x,y) שייך ליחס המכפלה RS? אתה חייב לחזור להגדרה.

 

[nir9696]

תשובה

כאשר קיים a ב-A כך ש-(x,a) שייך ל-R ו-(a,y) שייך ל-S

 

[סיגמה535]

מצוין.

עכשיו ישם את ההגדרה לגבי המכפלה DD^-1. רק להציב במקום הנכון
מתי זוג (x,y) שייך ל DD^-1?

 

[nir9696]

יכול להיות שאני מתחיל להבין את הכיוון

קיים a ב-A כך ש-(x,a) שייך ל-D ו-(a,y) שייך ל-D^-1, ומכיוון ש- Domain (D) = A => Range (D^-1) = A, נובע כי (x,y) שייך ל-AXA.

האם זו הדרך?? אם כן - אני צריך להוכיח כי Domain (D) = A? זה פשוט נראה לי ברור...

 

[סיגמה535]

ההתחלה נכונה.

עכשיו, מה זה אומר ש (x,a) שייך ל D?
מה זה אומר ש (a,y) שייך ל D^-1?
השתמש עכשיו בהגדרה של D ובהגדרה של יחס הפוך.

הטיעון שלך לגבי התחום והטווח לא נכון באופן כללי.
יש יחסים שהתחום שלהם הוא A וההרכבה אינה מקיימת את הדרוש. צריך לעבוד קצת יותר בעדינות.

 

[nir9696]

תשובות

זה אומר ש- x הוא מחלק של a וש-y מחלק של a.לדוגמא (2,3) שייך ל-DD^-1 כי 2 ו-3 מחלקים של 6 (כנ"ל 12 וכו'...).אבל אני לא מבין איך זה עוזר לי...

 

[סיגמה535]

עכשיו חבר את הכל ביחד

אתה צריך להוכיח שלכל שני מספרים, x ו y יתקיים ש (x,y) שייך ל DD^-1.
כלומר, קיים a כך שמה? מדוע תמיד קיים a כזה?

 

[nir9696]

תשובות

אוקיי, נראה לי שלאט לאט מתחוור לי
מכיוון שהקבוצה אינה חסומה בכיוון החיובי, בעצם עבור כל שני מספרים טבעיים (שונים מ-0 ו-1) x ו-y תמיד יהיה קיים a טבעי (שונה מ-0 ו-1) שמתחלק ב-x ו-y [ בעצם x*y], ולכן הם כל שני מספרים טבעיים שונים מ-0 ו-1, יהיו ביחס זה עם זה ב-DD^-1, כלומר DD^-1=AXA


אני צודק?

 

[סיגמה535]

כמעט

העובדה שיש a כזה אינה נובעת מכך שהקבוצה אינה חסומה, אלא מכך שהראית כזה. גם קבוצת הראשוניים אינה חסומה, ושם אין a כזה לכל זוג (למעשה לאף זוג).
ודא שההבדל ברור לך.

 

[nir9696]

צודק

ממש תודה על העזרה ועל ההבהרה החשובה!