תרגיל באינדוקציה...

[vadik1212]

תרגיל באינדוקציה...

יש כאן שאלה שאני יושב עליה כל היום.

אני אשמח אם תתנו לי הדרכה איך לפתור אותה.

תודה.

 

[iMeTaVDR]

הפתרון המלא בתמונה.

 

[אורי769]

שתי הערות

הפתרון הוא טכנית נכון, אבל לוקה בשני "פגמים".
1. אין שום סיבה לבדוק את בסיס האינדוקציה ליותר מ-n=1.
2. מבחינה לוגית להגיד "בא נחסר את הנחת האינדוקציה ממה שצריך להוכיח" זה לא תקף כהוכחה. הוכחה היא דבר בא מגיעים מהנחות + טענות ידועות אחרות לעבר הטענה הנדרשת. ההוכחה הזו מנוסחת באופן הבא - אני מתחיל ממה שצריך להוכיח + הנחות וטענות ידועות ומתקדם לעבר משהו שהוא ידוע כנכון. זה במקרה עובד כאן, כי המעברים הם כולם מעברי שקילות. אבל הנה לכם הוכחה ש- 1=3: נרשום את מה שצריך להוכיח 3=1. נחסר 2 משני האגפים. -1=1. נעלה בריבוע 1=1. הנה הגענו למשוואה נכונה ולכן הטענה שלנו נכונה

 

[iMeTaVDR]

אתה צודק.

ואני יודע, כי את ההערה השנייה הערת לי לפני כמעט שנתיים

לגבי ההערה הראשונה - אתה צודק, אבל בדיעבד. יש סיבות טובות מאוד לבדוק עבור יותר מ-n=1 בתרגילים האלה. בתרגיל הזה ספיציפית לא. הפתרון הזה כתוב באופן שמשקף את הלך המחשבה והוא אינו כתוב באופן קפדני. אני מקווה שתסלח לי, כי הוא נכתב בתקופה שבה הייתי פותר כמוהו עשרות ביום! (...אבל אין באמת מחילה על דברים כאלה בעולם הזה

)

 

[israelmiv]

שאלה

בקשר להערה השניה שלך, יש איזו צורת כתיבה מקובלת בשביל הבעיה הזאת? למשל, אם הוא היה כותב "שוויון זה שקול לשוויון - " זה היה טוב?

 

[אורי769]

תשובה

מה שצריך לעשות זה להתחיל מהנחת האינדוקציה. אז להוסיף ערך זהה X (שעוד רגע נגיד מהו) ואז להראות שהאגפים מתכנסים לטענה עבור n+1. הערך X הוא בדיוק ההפרש בין "מה שצריך להוכיח" להנחת האינדוקציה. אפשר לחשב אותו באופן ידני בטיוטה. במקרה זה X הוא משהו כמו הסכום q 1+2+..+n (לא בדקתי את החשבון שלי אז צריך לבדוק שאני מדייק) באגף שמאל ו-(n ch 2) בימין.

 

[israelmiv]

תודה רבה

 

[iMeTaVDR]

פתרון ללא אינדוקציה:

חשב את הטור (k(n-k+1∑ כאשר k רץ מ-1 עד ל-n.

 

[vadik1212]

תודה רבה.. איך ידעת מאיפה השאלה?

 

[iMeTaVDR]

לא חשבת שאתה הראשון שפגש בתרגיל, נכון?

היעזר בפתרון הזה כדי לפתור את שני התרגילים הבאים. בנוסף ניתן לפתור אותם ללא אינדוקציה ע"י חישוב של טור באופן הדומה לנ"ל.

 

[vadik1212]

חחחחח

תקשיב אני כל היום יושב על החרא הזה, מה לא ניסיתי ( טוב,את זה), אבל ניסיתי עם סידרה חשבונית ( אבל חלק אחר ) ועוד מלא דברים שאני כבר לא זוכר.

ולגבי טיילור, שמעתי על הבחור, שמעתי על הטורים שלו אבל עוד לא יצא לי ללמוד את זה.

עוד משהו, אני רואה שזה ספר תיכון, באמת זה משמצפים מהתלמידים?

 

[iMeTaVDR]

לא מדובר בטור טיילור.

לסכום של סדרה קוראים טור. טור טיילור הוא סוג מסויים של טור (או משפחה מסויימת של טורים). ראה עמודים 100-101 בספר שלך ואת הערך בויקיפדיה כדי לרדת לסוף דעתי.

השאלה הזו מכוכבת פעמיים, אז היא אמורה להיות קשה יחסית. הוספתי דרך אלטרנטיבית לפתרון כי זה פורום מתמטיקה אחרי הכל. אם אני לא טועה, החל מלפני שנתיים בערך, אין מלמדים אינדוקציה בתיכון. לגבי מה שהיה לפני - אין לי מושג. אתה יכול לעיין במבחני בגרות מהעבר ולבדוק.

 

[vadik1212]

תודה.

אני אעבור על זה.