קומבינטוריקה-פונקציות יוצרות. צריך את עזרתכם

[lalal6]

קומבינטוריקה-פונקציות יוצרות. צריך את עזרתכם

מטילים קוביה 10 פעמים בזו אחר זו.
מה ההסתברות שסכום התוצאות הוא 20.

עליי לפתור זאת באמצעות פונקציות יוצרות.

אני קצת מתקשה באיך להגדיר את הפונקציה היוצרת.

אני יודע שקוביה יכולה לקבל 6 ערכים שונים בלבד.

לכן אני מניח שהפונקציה היוצרת אמורה להיות פולינום עם 6 מחוברים כך שהחזקה של x בכל אחד מהם היא i, כאשר i בין 1 ל- 6.

מה בעצם החזקות 1 עד 6 מציינות?

מה המקדמים של כל איבר x^i, כאשר i בין 1 ל- 6 ?

אני קצת מתקשה לראות מה השלבים של הפתרון, וכיצד אני מתקדם.

מישהו יכול לתת הכוונה?

 

[lalal6]

?

 

[אורי769]

תשובה

מנסיוני, הבעיה העיקרית שיש לסטודנטים עם פונק' יוצרות זה שלא ברורה התאוריה מאחורי השיטה. בא נחזרו עליה בקצרה....

נניח יש לנו בעית מניה כלשהי שאת פתרונה אפשר לסמן כסדרה an. כלומר, בהנתן n הפתרון הוא an. לדוגמא, an בבעיה שלך זה מספר המקרים בהם סכום ההטלות הוא n. הרעיון הוא להגדיר פונקציה (f(x כטור החזקות עם מקדמים an. כלומר f(x) = ∑an*x^n. זה כשלעצמו לא עוזר הרבה. אלא, שבהרבה מקרים ניתן למצוא את f לא כטור חזקות אלא בייצוג אחר ואז ממנו לעבור לייצוג של טור ולפתור את התרגיל.

במקרה שלך, אני ארשום לך את הפונקציה היוצרת.
f(x) = (x+x^2+...x^6)^10

אני משאיר לך להבין למה זו הפונקציה היוצרת. כלומר למה המקדם של x^n בפונקציה הזו הוא בדיוק מספר המקרים בהם סכום ההטלות הוא n. אני גם משאיר לך להבין איך מהייצוג הזה ניתן לחשב את an במפורש.

 

[blackfield71]

מנסה להתקדם

תודה על התשובה. אני מנסה להתקדם לפי ההדרכה שלך:

בעצם אני יכול להסתכל על f(x) = (x+x^2+...x^6)^10 כעל 10 זוגות סוגריים, כשמכל זוג סוגריים אני בוחר בדיוק אחד מתוך 6 המחוברים האפשריים בכל זוג סוגריים - x^i כש-i בין 1 ל - 6 (שכל אחד מהם מייצג תוצאה אפשרית של הקובייה), ואז אני מקבל מכפלה מהצורה: x^ax^bx^cx^dx^ex^fx^gx^hx^ix^j שעליי לדרוש ממנה לקיים: a+b+c+d+e+f+g+h+i+j = 20, כשכל מחובר כאן
הוא בין 1 ל-6?
התשובה לשאלה, היא מספר פתרונות המשוואה האחרונה? זה נכון להסתכל על זה כמו שכתבתי כאן?

בעצם מה שכתבתי כאן, עונה על שתיי השאלות שהשארת לי להבין?

1) מדוע זו הפונקציה היוצרת?

2) מדוע המקדם של x^10 בפונקציה (f(x, הוא בדיוק מספר המקרים בהם סכום ההטלות הוא 20?

אם עניתי נכון על שתיי השאלות הללו, אז כעת אני רוצה לנסות להתקדם לשאלה השלישית שהשארת לי להבין: איך מהייצוג הזה ניתן לחשב את an במפורש.

להבנתי, לחשב את an במפורש, פירושו: למצוא את המקדם של x^20?

אם כן, אנסה לעשות זאת:

zz f(x) = (x+x^2+...x^6)^10 = x^10 (x^6-1)^10(x-1)^-10 = x^10* (sum(x^6)^i * (-1)^10-i) * (x-1)^-10 zz

האינדקס i בסכום שכתבתי רץ מ-0 עד 10 (זה הבינום של ניוטון).

למה בדיוק שווה הביטוי: zz (x-1)^-10 zz ?

אודה לך מאד אם תוכל לענות על שאלותיי.

 

[blackfield71]

אני מי ששאל את השאלה. פשוט במחשב אחר.

 

[אורי769]

תשובות

ההסבר שלך נכון. בסעיף 2 התכוונת x^20.

לגבי ההמשך, הפיתוח שלך של הפונקציה, אז יש לך טעות בפיתוח הבינום. שכחת את המקדמים הבינומיים. שנית, אני מציע לקרוא את ההסבר הבא:

http://www.tapuz.co.il/Forums2008/ViewMsg.aspx?ForumId=457&MessageId=175126661

 

[lalal6]

תודה