שאלה במטריצה הופכית מרוכבת

[jonathan90]

שאלה במטריצה הופכית מרוכבת

נתונה לי A 2x2
3+3i 16+16i
16-16i 3-3i


אני צריך למצוא את ההופכית של A

לדרג אותה בצורה הזאת לא הצלחתי, אז נסיתי לפרק אותה לסכום מטריצות של החלק הממשי והחלק המדומה, ואז למצוא הופכית של כל אחת.. האם זה נותן לי משהו?

אם לא אז איך אני פותר?

 

[1ca1]

זה לא בדיוק עובד ככה

1. אתה צריך לדעת לדרג גם במרוכבים, זה דורש למצוא הופכיים למספרים מרוכבים, ותצטרך את זה הרבה בלינארית 2, כך שאין טעם לברוח מזה, מדובר ב-2x2, המקרה הפשוט ביותר.

2. ספציפית בגלל שזה 2x2, כשתלמד דטרמיננטות תלמד משהו בשם כלל קרמר, שמאפשר לחשב את ההופכית ישירות (לא בהכרח בצורה קלה יותר מאשר חישוב ישיר).
ספציפית ל-2x2 יש צורה נחמדה שקל לזכור.
אם המטריצה היא A=[a,b;c,d] zz
אז zz A^-1=1/det(A) * [d,-b;-c,a] zz
כאשר det(A)=ad-bc

כלומר מחלקים בדטרמיננטה הזו, ואז נשאר להחליף את איברי האלכסון הראשי ולשים מינוס במשני.
פשוט תבדוק את זה בידיים שזה יוצא לך ההופכית (ד"א, תנאי הכרחי כאן שהדטרמיננטה הזו תהיה שונה מאפס, שתוכל לחלק בה).
ומכאן אפשר לגזור ישירות את ההופכית למטריצה הספציפית שלך, אבל כמו שכתבתי למעלה, אתה צריך לדעת לעשות את זה גם בידיים ישר בלי טריקים.

 

[jonathan90]

תודה, וכן אני בידיוק לומד דטרמננטות

השאלה הזאת היא לפני שהתחלנו דטרמיננטות אז אני רוצה לפתור אותה בשיטה הרגילה

למטריצות מרוכבות יש שיטות מיוחדות לדרג אותן?
חשבתי על לעשות C1 = C1 - 16/3C2 .. זה טוב?
אם לא, אפשר בבקשה הסבר איך לדרג אותה?

ואורי תודה הבנתי.. אין צורך בדוגמאות

 

[אורי769]

הדרכה

בעקרון אתה מוצא את ההפוך בדיוק באותה טכניקה שלמדת. כלומר אתה רושם את המטריצה ולימינה את מטריצת היחידה ואז מבצע פעולות דירוג זהות על שני האגפים עד שמשמאל קיבלת מטריצת יחידה והמטריצה מימין היא ההפוך. כל ההבדל הוא שכאן יש לבצע חישובים בקומפלקסיים.

במקרה הנדון אין הרבה חישובים קומפלקסיים. למעשה אם תתחיל בלכפול את השורה הראשונה ב-16-16i ואת השניה ב-3+3i אז תקבל מטריצה ממשית משמאל ומכאן והלאה פעולות הדירוג כולן תהינה בממשיים (אף כי המטריצה מימין תהיה קומפלקסית).

 

[jonathan90]

הבנתי.. יצא לי טוב

תודה רבה עזרתם המון

 

[אורי769]

הערה

בהמשך למה שכתב לך 1ca1, לא רק שאסור לחלק לרכיב ממשי ומדומה ואז להפוך - זה בכלל לא מובטח שהחלקים הם הפיכים.
נניח A מטריצה ריבועית מעל הקומפלקסיים המתפרקת ל
A = B + iC
כאשר B ו-C מטריצות ממשיות. אז יש דוגמאות בהן B ו-C אינן הפיכות אבל A כן הפיכה וגם יש דוגמאות בהן B, C הפיכות אבל A אינה הפיכה. אתה מוזמן למצוא את הדוגמאות אם זה מעניין אותך או אם תבקש יפה אני אציג אותן מאוחר יותר.