אינדוקציה - עזרה בבקשה
- פותח הנושא israelmiv
- פורסם בתאריך
לא עכשיו בכל אופן. משלים את חוק לימודי לבד...
הבנתי את ההוכחה! אני מחלק את שני הצדדים ב n^n ואז צריך להוכיח שהביטוי שכתבת בהודעה שלך גדול מ n , אבל מכיון ש n גדול מ3 אז... ממש תודה.
ואני מכיר את המשפט שכתבת רק מ e כלומר אם הגבול של הביטוי באינסוף הוא e אז הוא בטח לא מגיע ל 3. יש לזה הוכחה פשוטה? אם כן אני אנסה למצוא אותה.
כמה הערות
בעקרון, השאלה היא איך בכלל מגדירים את e. אתה מן הסתם יודע ש-e=2.71... q, אבל זו לא ההדגרה שלו. כלומר, יש ל-e הגדרה שנובעת ממה שהוא מקיים. כמו ש-pi הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, אז מה מקיים e? אז יש כמה הגדרות אבל אחת מהן היא ש-e זה הגבול של הביטוי q (1+1/n)^n. כדי להוכיח שלדבר הזה יש גבול צריך בין השאר להוכיח שהוא חסום. מקובל להוכיח שהוא קטן מ-3. יש גם הגדרות אחרות, המובילות לאותו הערך. הנקודה היא שזה בכלל לא ברור לכתחילה שהמספר הוא בין 2 ל3. זה דבר המצריך הוכחה (בדיוק כפי שרק מלהגיד "היחס בין היקף המעגל לקוטרו" לא ברור שהיחס הזה הוא מעט גדול מ-3 וזה מצריך הוכחה).
הסיבה שהעלתי נקודה זו, היא כדי להסב את תשומת ליבך, שגם בהצעה של עריסטו, אין מנוס מלהוכיח ש-e קטן מ-3 כדי להשלים את ההוכחה.
אני לא מכיר דרך "קלה" להוכיח ש-q (1+1/n)^n < 3. הדרך שאני מכיר מצריכה קצת עבודה ע"י פיתוח הביטוי בעזרת בינום ניוטון
q (1+1/n)^n = 1 + n*1/n + .... q
שני הגורמים הראשונים הם 2. מכאן צריך לחסום את שאר n-2 הגורמים להראות שיחד הם פחות מ-1. זה קצת סיזיפי ואני לא זוכר בע"פ את כל הטיעונים. אתה מוזמן לחשוב על זה או לחפש לכך מובאות ברשת.
בעקרון, השאלה היא איך בכלל מגדירים את e. אתה מן הסתם יודע ש-e=2.71... q, אבל זו לא ההדגרה שלו. כלומר, יש ל-e הגדרה שנובעת ממה שהוא מקיים. כמו ש-pi הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, אז מה מקיים e? אז יש כמה הגדרות אבל אחת מהן היא ש-e זה הגבול של הביטוי q (1+1/n)^n. כדי להוכיח שלדבר הזה יש גבול צריך בין השאר להוכיח שהוא חסום. מקובל להוכיח שהוא קטן מ-3. יש גם הגדרות אחרות, המובילות לאותו הערך. הנקודה היא שזה בכלל לא ברור לכתחילה שהמספר הוא בין 2 ל3. זה דבר המצריך הוכחה (בדיוק כפי שרק מלהגיד "היחס בין היקף המעגל לקוטרו" לא ברור שהיחס הזה הוא מעט גדול מ-3 וזה מצריך הוכחה).
הסיבה שהעלתי נקודה זו, היא כדי להסב את תשומת ליבך, שגם בהצעה של עריסטו, אין מנוס מלהוכיח ש-e קטן מ-3 כדי להשלים את ההוכחה.
אני לא מכיר דרך "קלה" להוכיח ש-q (1+1/n)^n < 3. הדרך שאני מכיר מצריכה קצת עבודה ע"י פיתוח הביטוי בעזרת בינום ניוטון
q (1+1/n)^n = 1 + n*1/n + .... q
שני הגורמים הראשונים הם 2. מכאן צריך לחסום את שאר n-2 הגורמים להראות שיחד הם פחות מ-1. זה קצת סיזיפי ואני לא זוכר בע"פ את כל הטיעונים. אתה מוזמן לחשוב על זה או לחפש לכך מובאות ברשת.
צודק, לא שמתי לב
שגם בהוכחה שלו e צריך להיות קטן מ 3.
האמת שאם נשתמש בהגדרה האחרת של e כטור של עצרות יהיה ברור שהוא לא עובר את 3. שני האברים הראשונים הם 2. מהאיבר 2\1 והלאה מספיק להוכיח שסכום כל האיברים קטן מסכום סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה 2\1 והמנה שלה 2\1. מאוד פשוט לראות את זה, ומן הסתם גם להוכיח.
כמובן שלא הראיתי עדין ששתי ההגדרות האלו מתכנסות לאותו "e".
שגם בהוכחה שלו e צריך להיות קטן מ 3.
האמת שאם נשתמש בהגדרה האחרת של e כטור של עצרות יהיה ברור שהוא לא עובר את 3. שני האברים הראשונים הם 2. מהאיבר 2\1 והלאה מספיק להוכיח שסכום כל האיברים קטן מסכום סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה 2\1 והמנה שלה 2\1. מאוד פשוט לראות את זה, ומן הסתם גם להוכיח.
כמובן שלא הראיתי עדין ששתי ההגדרות האלו מתכנסות לאותו "e".
יונתן 2000
New member
דרך נוספת באינדוקציה
נתון כי:
n > (1 + 1/n)^n
(העברתי קצת אגפים). צ"ל ש:
n+1 > (1 + 1/(n+1))^(n+1)
נתחיל מאגף ימין ונגיע לאגף שמאל:
(1 + 1/(n+1))^(n+1) < (1 + 1/n)^(n+1) = (1 + 1/n) x (1 + 1/n)^n = (1 + 1/n)^n + (1/n)x(1 + 1/n)^n < (induction) n + (1/n)xn = n + 1
משל.
נתון כי:
n > (1 + 1/n)^n
(העברתי קצת אגפים). צ"ל ש:
n+1 > (1 + 1/(n+1))^(n+1)
נתחיל מאגף ימין ונגיע לאגף שמאל:
(1 + 1/(n+1))^(n+1) < (1 + 1/n)^(n+1) = (1 + 1/n) x (1 + 1/n)^n = (1 + 1/n)^n + (1/n)x(1 + 1/n)^n < (induction) n + (1/n)xn = n + 1
משל.
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.