קומבינטוריקה סדרה אונימודלית

lalal6

New member
קומבינטוריקה סדרה אונימודלית

אני מנסה לפתור את השאלה הבאה וקצת תקוע האמת. זו השאלה:

הוכח ש-(a0,a1,...,an) סדרה לוג-קעורה של מספרים חיוביים (ז"א: ak^2>=ak-1ak+1 לכל k ) היא אונימודלית (ז"א: קיים אינדקס t עבורו:

zz a0<=a1<=a2<=...<=at>=....>=an zz .


מהנתון ak^2>=ak-1ak+1 לכל k אני יכול לומר שאחד הגורמים באגף ימין גדול או שווה ל-ak. האמת שזה לפחות אחד הגורמים...

אם למשל ak-1<=ak, אז מאד הייתי רוצה שזה יתקיים לא לכל k, אלא עד לאינדקס כלשהו שקטן מ-n. שזה האינדקס t המבוקש.

ואז אם מכאן ואילך יתקיים שדווקא ak+1 גדול מ-ak, אז הייתי רוצה שזה יתקיים לכל k שגדול מ-t.

איך אני מתקדם מכאן..ומה אם גם ak-1 וגם ak+1 קטנים מ-ak? אה..במצב כזה k=t. כי ak יהיה הנקודת פסגה.

נראה לי שאני בכיוון אבל אני לא ממש מצליח ליצר הוכחה..

אפשר עזרה??
 

lalal6

New member
אנסה להתקדם עוד קצת

נראה לי צריך פשוט להפריד כאן למקרים.

מהנתון ak^2>=ak-1ak+1 לכל k יתכנו המקרים הבאים:

מקרה ראשון: ak-1<=ak לכל k.

מקרה שני: ak+1<=ak לכל k.

במקרה הראשון, תתקבל סדרה אונימודלית כך ש-at = an. למעשה זו סדרה עולה, והנקודת פסגה היא הנקודה האחרונה בסדרה. זה מקרה קצה כזה.

במקרה השני, a0 הוא הנקודת פסגה, והסדרה יורדת עד an.

במקרה השלישי והשכיח יותר, נניח בלי הגבלת הכלליות ש-ak-1<=ak וגם ש-k>=1. אם זה מתקיים לכל k, אנחנו במקרה הראשון. אם לא, אז זה אומר ש-ak-1>ak ואז ak-1 זו נקודת פסגה ולכן k-1=t...זאת אומר שk-1 זה האינדקס המבוקש. כמו כן, מ-ak ואילך, עד an ניהיה במגמת ירידה. כי בגלל ש-ak-1>ak, אז מהנתון שהסדרה לוג קעורה, בוודאי ש-ak+1 קטן מ-ak...עדיין לא הכי מדוייק ההוכחה הזו אני חושב...אם מישהו יכול לעזור/להוסיף/לגרוע, זה יהיה טוב...

תודה.
 

אורי769

New member
!!!

רמז:
בא נסתכל על הסדרת המנות. כלומר על
bn = an/a(n-1) q
מה אפשר להגדיר עליה?
 

lalal6

New member
על המנה של שניי איברים סמוכים אני לא יודע דבר

כל מה שנתון זה ש- zz ak^2>=ak-1ak+1 zz . לכן איבר שסמוך ל-ak מימין, יכול להיות קטן מ-ak, או גדול מ-ak.

מה שלא יכול להיות, זה ששניי האיברים שסמוכים ל-ak, משניי צדדיו, גדולים מ-ak. כי אז האי שיוויון הנתון לא יתקיים. אם אתה שואל מה אפשר להגיד על הסדרה, אז כנראה

שאני בכל זאת טועה. תוכל לומר לי היכן הטעות שלי?

ובלי קשר, האם הפתרון שהצעתי בפוסט הקודם הוא פתרון אפשרי??
 

אורי769

New member
תשובות

לגבי נסיון ההוכחה שלך. האמת שלא ממש הבנתי אותו. חילקת לשלושה מקרים. שני הראשונים הם שהסדרה מונוטונית עולה או יורדת ואז ברור שהיא אונימודלית. בשלישי אתה טוען שאם a(k-1) > ak אז מהנתון זה גורר ak > a(k+1) q. לפי זה הלוג-קעירות גורר מונוטוניות ולא רק אונימודליות. זה היה צריך להדליק לך נורה. זה טיעון לא נכון.

לגבי הרמז שלי. אכן אי אפשר לדעת מה הערך של bn אבל כן אפשר לראות ש- bn >= b(n+1) q. תחשוב איך זה עוזר.
 

אורי769

New member
תיקון

עכשיו קראתי שוב את ההוכחה שלך והבנתי אותה. בגדול אתה צודק. כלומר הטיעון שלך, במלים אחרות הוא: מרגע ש-an מתחילה לרדת, היא לא יכולה להפסיק (זה נובע מהלוג-קעירות, וזה נכון בניגוד למה שאני כתבתי). לכן כל עוד היא עולה היא עולה ובנקודה הראשונה שהיא יורדת זה ה-t המבוקש. אם קצת תיקוני ניסוח ההוכחה שלך נכונה.
 
למעלה